Аксиоматика теории вероятностей, счетная аддитивность

[Someone]

ewert в сообщении #608851 писал(а):

Однако привязка функции распределения к непрерывности с именно одной стороны, а не с противоположной -- к сигма-аддитивности отношения не имеет.

Да какая разница, с какой стороны. Всё равно $\sigma$-аддитивность вылезет.

[ewert]

Someone в сообщении #608856 писал(а):

Всё равно $\sigma$-аддитивность вылезет.

Да наоборот. Сигма-аддитивность первична, а с какой стороны её там потом пределами окормлять -- это уже бантики.

[eugrita]

Все таки очень красиво наблюдать на компьютере результаты статистического моделирования
игры типа описанной с постепенным увеличением числа шагов . Ступенчатая функция распределения
$F(x)$ не равная 0 на $[X_{min}<X<X_{max}]$
При увеличении числа шагов $X_{min} \rightarrow 0$, $X_{max} \rightarrow \varpropto$ а величины ступенек $\delta P \rightarrow 0$
В пределе сингулярность? Чуть позже покажу

[eugrita]

Цитата:

Вы что! Это дискретные распределения с бесконечным множеством возможных значений.

Не понял, все перечисленные распределения, геометрическое, отрицательное биномиальное кроме правда Пуассона являются распределением с.в. принимающей конечное дискретное множество значений,
Получается что практически любое распределение бесконечной д.с.в (например целочисленной на всей прямой как и Пуассона ) никак не определишь без сигма-аддитивности?
Да-это серьезный аргумент за это понятие. Спасибо всем за обсуждение
Главная моя ошибка была та,что я имея ввиду дискретные случайные величины, не придавал внимания ситуациям, когда она может иметь бесконечно много значений на всей прямой или полу-луче.
Если делить конечный интервал на счетное число скачков то и получим "вырожденные" распределения непонятно для чего. А класс д.с.в определенных на множестве целых или натуральных чисел достаточно важен в теории игр и возможно еще кое-где. На этот раз я,надеюсь,прав?

[Someone]

ewert в сообщении #608915 писал(а):

Да наоборот.

Что значит - "наоборот"? Я говорю о том, что при выводе формулы для вероятности попадания в интервал понадобится $\sigma$-аддитивность.
Вообще, никак не пойму, о чём Вы со мной спор затеяли. Я, вроде бы, ничего криминального не сказал. Я не утверждал, что постулируется обсуждавшаяся формула, а $\sigma$-аддитивность выводится из этой формулы, или что $\sigma$-аддитивность вводится специально для доказательства именно этой формулы. Это был всего лишь пример совсем простой задачи, где нужна $\sigma$-аддитивность.

eugrita в сообщении #608938 писал(а):

Не понял, все перечисленные распределения, геометрическое, отрицательное биномиальное кроме правда Пуассона являются распределением с.в. принимающей конечное дискретное множество значений,

О, боже! Неужели нельзя глянуть в учебнике или, на худой конец, в Википедии?

Распределение Пуассона: $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,2,3,\ldots$ ($\lambda>0$).
Геометрическое распределение: $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,3,4,\ldots$ ($p$ - вероятность "успеха").
Отрицательное биномиальное распределение: $P(X=k)=C_{k-1}^{n-1}p^n(1-p)^{k-n}$, $k=n,n+1,n+2,n+3,\ldots$ ($p$ - вероятность "успеха", $n=1,2,3,4,\ldots$; при $n=1$ получается геометрическое распределение).

[_hum_]

eugrita в сообщении #608766 писал(а):

Правильно ли я понял модель предлагаемого процесса (игры)?
$X_0=X$
$X_{n+1}=(1-a)X_n$ c $ p=\frac{5}{6}$
$X_{n+1}=(2-a)X_n$ c $p=\frac{1}{6}$
у вас $a=0.5$
или все таки $X_{n+1}=(1-a)X_n +X$ c $p=\frac{1}{6}$ ???

Формально процесс описывается следующим образом:
пусть $\xi_k$ - случайная величина, описывающая капитал на $k$-ом шаге игры. Тогда (с учетом введенных ранее обозначений)
$\xi_0 = X$
$\xi_k = 2^{-1}\xi_{k-1} + \beta_k X = X\cdot \sum_{i=1}^k 2^{-i}\beta_i = X \cdot (0,\beta_k\beta_{k-1}\dots\beta_1)_2.$

eugrita в сообщении #608938 писал(а):

Главная моя ошибка была та,что я имея ввиду дискретные случайные величины, не придавал внимания ситуациям, когда она может иметь бесконечно много значений на всей прямой или полу-луче.
Если делить конечный интервал на счетное число скачков то и получим "вырожденные" распределения непонятно для чего. А класс д.с.в определенных на множестве целых или натуральных чисел достаточно важен в теории игр и возможно еще кое-где. На этот раз я,надеюсь,прав?

Нет, не правы.
Во-первых, допущение счетного числа скачков никак не может обеспечить сингулярности распределения ("вырожденности" вашими словами);
А во-вторых, бесконечность пространства исходов - это не объяснение того, почему появляется потребность вводить сигма-алгебру. Если бы не требовалось рассматривать события, построенные на основе комбинации счетного числа других событий, вполне можно было бы обойтись и обычной алгеброй. А почему появилась потребность в рассмотрении таких событий, я уже писал - аналогия та же, что и во введении иррациональных чисел - чтобы заменить рассмотрение последовательности "очень больших рациональных чисел" одним объектом - иррациональным числом, к которому стремятся в пределе эти рациональные (сравните, вместо того, чтобы рассматривать очень большое число шагов игры, сразу можно рассмотреть бесконечное).


И да, чтобы такие вопросы обсуждать, вам не мешало бы более основательно изучить математическую сторону предмета ТВ (например, по Ширяеву, если мат. образование позволяет).

[CBst]

eugrita в сообщении #608316 писал(а):

Вопрос до удивительности однообразен. Покажите хоть 1 пример использующийся на практике распределений (не дискретных) у которых нет плотности.

Раньше устойчивые распределения Парето (они не имеют плотности кроме одного крайнего случая) использовались для моделирования цен акций. Модели этой уже 50 лет, но она давно устарела.

[_hum_]

CBst в сообщении #609039 писал(а):

распределения Парето (они не имеют плотности кроме одного крайнего случая)

Что-то вы путаете. Распределения Парето имеют плотности.

[CBst]

_hum_ в сообщении #609044 писал(а):

CBst в сообщении #609039 писал(а):

распределения Парето (они не имеют плотности кроме одного крайнего случая)

Что-то вы путаете. Распределения Парето имеют плотности.

Вы меня не доцитировали. Устойчивые распределения Парето. Это другое. Можно почитать, например, в книжке Гнеденко, Колмогоров "Предельные распределения для сумм независимых случайных величин" со страницы 177.
Или вот по этой ссылке, там под номером [2] характеристическая функция выписана. А чуть ниже написано "часто эти распределения называют устойчивыми распределениями Парето".

Эти распределения еще называют по английски Levy alpha-stable distributions.

[_hum_]

CBst в сообщении #609081 писал(а):

Эти распределения еще называют по английски Levy alpha-stable distributions.

В Wiki:Lévy distribution написано:
All three are special cases of the stable distributions, which do not generally have a probability density function which can be expressed analytically.
Подтверждения же тому, что плотности вовсе не существует, не нашел. Не могли бы вы дать интернет-ссылку на этот факт?

[CBst]

_hum_ в сообщении #609092 писал(а):

Подтверждения же тому, что плотности вовсе не существует, не нашел.

Действительно, существует несколько частных случаев, когда плотность определена. Вот тут, в параграфе Special cases, они описаны. В остальные случаях нету плотности.

[--mS--]

CBst в сообщении #609106 писал(а):

Действительно, существует несколько частных случаев, когда плотность определена. Вот тут, в параграфе Special cases, они описаны. В остальные случаях нету плотности.

Может быть, Вы прочтёте всё же фразу чуть выше по этой же ссылке?

Цитата:

It can be shown that any non-degenerate stable distribution has a smooth (infinitely differentiable) density function

Плотность у распределения с приведенной характеристической функцией, с очевидностью, есть. Просто потому, что эта х.ф. абсолютно интегрируема на прямой.

[eugrita]

_hum_ в сообщении #609001 писал(а):

допущение счетного числа скачков никак не может обеспечить сингулярности распределения

Да это всего лишь только дискретная с.в. согласно определению
Вы хотите сказать что именно в вашем примере в пределе при $n \to \infty$ не даст сингулярную функцию распределения а другие процессы аналогичному вашему но полученные легкой модификацией констант формулы или самой формулы (например $a \neq 0.5 $) только лишь дискретную? двоичная дробь вашего примера с равновероятной встречей 0 и 1 призвана показать равномерное всюду плотное заполнение [0,1] ?

Someone в сообщении #608941 писал(а):

Не понял, все перечисленные распределения, геометрическое, отрицательное биномиальное кроме правда Пуассона являются распределением с.в. принимающей конечное дискретное множество значений,

Да мне стыдно.Давно ими не пользовался, забыл. Залез в википедию а многоточия просмотрел

[_hum_]

eugrita в сообщении #609159 писал(а):

Вы хотите сказать что именно в вашем примере в пределе при $n \to \infty$ не даст сингулярную функцию распределения а другие процессы аналогичному вашему но полученные легкой модификацией констант формулы или самой формулы (например $a \neq 0.5 $) только лишь дискретную?

Кто "не даст"? Пишите яснее.

eugrita в сообщении #609159 писал(а):

двоичная дробь вашего примера с равновероятной встречей 0 и 1 призвана показать равномерное всюду плотное заполнение [0,1] ?

Не путайте, двойка в моем примере не отвечает за равновероятность (скорее за двоичную систему счисления). За вероятность появления нулей и единиц в двоичном разложении отвечает параметр $p$ в распределении вероятностей бернуллиевских с.в. $\beta_i$. А записал вам через двоичную дробь, чтобы показать, что конкретно из себя представляет значение случайной величины капитала за всю игру, и почему распределение вероятностей этой с.в. в случае $p = 1/2$ будет равномерным распределением. (В случае же $p \neq 1/2$, как я уже упоминал, будет получаться сингулярное распределение, но это надо уже доказывать).

[eugrita]

_hum_ в сообщении #609248 писал(а):

Не путайте, двойка в моем примере не отвечает за равновероятность

я именно это и имел ввиду. В вашей задаче 2 параметра
1)доля капитала который кладется на кон. У меня обозначен как a и вы хотите $a=0.5 $
а по вашей задумке это и основание системы счисления бесконечной дроби
2)параметр распределения бернулли p (вероятность выигрыша) у вас он тоже $p=0.5

Я собственно уже программу сделал и гоняю с этими 2 параметрами. Кроме этих параметров у
меня еще 2 параметра статистического моделирования:
k- количество шагов этой так сказать, игры
N - количество реализаций этого к-этапного процесса или игры
(результат каждой реализации - значение капитала в конце к-этапа или 0 если разорился раньше)
Я принял пока $N=1000$ и $5 \leq k \leq 100$
Результаты (графики) приведу здесь когда буду убежден в их корректности и сам себе их объясню