Векторная фактор-топология

[xmaister]

Пусть $Y\subset X$- подпространство ТВП $X$. Я доказываю, что $X/Y$- также ТВП:
Сначала доказываю, что факторотображение $p:X\to X/Y$- открыто. Пусть $V\subset X$- открытое $p(V)=\{x+Y|x\in V\}$. $z\in p^{-1}p(V)\Leftrightarrow p(z)\in p(V)\Rightarrow p(z)\subset \bigcup p(V)\Rightarrow z\in \bigcup\limits_{x\in V}x+Y\Rightarrow$
$\exists x\in V: z\in x+Y\Rightarrow p(z)\in p(V)\Rightarrow z\in p^{-1}p(V)$, откуда $p^{-1}p(V)=\bigcup\limits_{x\in V}x+Y=\bigcup\limits_{y\in Y}{y+V}$. Т.к. $V$- открыто, то $p^{-1}p(V)$- открыто, значит $p(V)$- открыто. Т.к. $p:x\to X/Y$- непрерывно по определению, то для произвольной окрестности $V_{x+y+Y}$ точки $x+y+Y$ существует $V_{x+y}$, такая что $p(V_{x+y})\subset V_{x+y+Y}$, а т.к. $X$- ТВП, то существуют $U_x$, $U_y$, такие что $U_x+U_y\subset V_{x+y}$, откуда, в силу линейности $p$ получаем, что $p(U_x)+p(U_y)\subset V_{x+y+Y}$. Из открытости отображения $p$ получаем непрерывность по сложению. Аналогично, рассматриваю произвольную окрестность $U_{\alpha x+Y}$. Тогда существует окретсность $U_{\alpha x}$, такая что $\beta p(U_x)\subset p(U_{\alpha})\subset U_{\alpha x+Y}$, для любого $\beta$ из некоторой окрестности $\alpha$. Значит $X/Y$- ТВП. Правильно ли я всё обосновал? Достаточно ли четко?

[xmaister]

Я что-то не могу сообразить, почему если $X$- метризуемо полной инвариантной метрикой, то и $X/Y$ тоже?

[Oleg Zubelevich]

это все чепуха какая-то, за книжки надо садиться

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #604545 писал(а):

это все чепуха какая-то

Что конкретно у меня неверно.

[Oleg Zubelevich]

это не неверно, это именно чепуха по существу:

xmaister в сообщении #604475 писал(а):

Я доказываю, что $X/Y$- также ТВП:

т.е. у нас нет еще топологии в $X/Y$, ну и какой тогда смысл имеет эта фраза:

xmaister в сообщении #604475 писал(а):

Сначала доказываю, что факторотображение $p:X\to X/Y$- открыто.

и вообще как можно доказывать что пространство топологическое? топология вводится, ну или вводится система множеств, а потом доказывается, что это топология -- у Вас этого не наблюдается

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #604549 писал(а):

т.е. у нас нет еще топологии в $X/Y$

Как это нету? Если $X$- произвольное топологическое пространство с топологией $\tau$, то факторпространство $X/\sim$ наделено по определению фактор топологией $\tau'=\{U|p^{-1}(U)\in\tau\}$, где $p:X\to X/\sim$- естественное факторотображение.

[Oleg Zubelevich]

все я понял что Вы доказываете

[xmaister]

Так что делать в случае, если $X$- ТВП, метризуемое полной инвариантной метрикой? Какую метрику взять на $X/Y$, $Y\subset X$- подпространство. Про $X/Y$ мне очевидна только метризуемость . Ясно, что $d(x+Y,z+Y)=\inf\limits_{t\in x+Y,l\in z+Y}d(l,t)$- не подходит. На какую ещё можно посмотреть?