Какой из обходов клумбы короче? [Квант]

[CBst]

Shtorm в сообщении #603282 писал(а):

CBst, а что Вы скажете об определениях: Кривая выпукла в ту же сторону, что и .....?

Я скажу, что кривая выпукла тогда, когда ее внутренность - выпуклое множество.

[Shtorm]

CBst в сообщении #603284 писал(а):

... - выпуклое множество.

Спорить никто не будет (наверое). Но ведь кривая может быть выпукла вверх, а может быть выпукла вниз (если речь идёт о явно заданных однозначных функциях одной переменной). И если рассматривать задачу, как у автора топика, но только это будут кривые, заданные теми функциями о которых я сказал, то будет очень важно выпукла вверх или выпукла вниз (особенно, если речь о гладких функциях).

Так вот, если теперь мы берём, и систему координат поворачиваем на какой-то угол, то уже нельзя говорить о выпуклости вверх или вниз, зато можно говорить о выпуклости в какую-то сторону.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #603244 писал(а):

Это замечание связано с различными терминами, используемыми разными авторами учебников? На всякий случай...

Shtorm,

это замечание связано с тем, что нарисованная Вами пила ни выпукла и ни вогнута, и, соответственно, никакого отношения к здешним разговорам и цитируемым теоремам не имеет: ПОЛНЫЙ ОФФТОПИК!. Это замечание связано с тем, что Вы уверенным тоном обсуждаете вопросы, о которых не имеете ни малейшего представления. Это замечание связано с тем, что Вы не умеете читать определения (уже обнаруживалось).
Понятие выпуклости не связано с какой-то там производной (или её знаком). Просто оказывается, что если вторая производная функции всюду определена и не меняет знак, то фигура, образованная графиком той функции и хордой, выпукла.
Фихтенгольца (мне) цитировать не надо, я в отпуске, читать и искать там Ваши непонятки не буду.

Фихтенгольц писал свой трёхтомник довольно педантично, но ему и в голову не приходило, что однажды придумают форумы, и, что самое ужасное, --- на форум явитесь Вы, и поэтому надо сразу писать шеститомник. Замечу-подчеркну, --- писать исключительно для Вас.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #603301 писал(а):

......
это замечание связано с тем, что нарисованная Вами пила ни выпукла и ни вогнута, и, соответственно, никакого отношения к здешним разговорам и цитируемым теоремам не имеет: ПОЛНЫЙ ОФФТОПИК!.

Поскольку речь пошла в целом об объемлющих и объемлемых (на всякий случай цитату):

longstreet в сообщении #595372 писал(а):

... В Кванте эта задача поставлена в виде диалога Васи и Пети, каждый из которых предпочитает разный путь обхода клумбы. Последний абзац их диалога:

Цитата:

$-$ Странно $-$, подумал Вася, $-$ ответ на вопрос задачи не зависит от величины радиуса круга. Впрочем, $-$ продолжал он свою мысль, $-$ можно обойтись и без вычислений: ведь всякая объемлющая линия, как известно, длиннее всякой объемлемой, имеющей те же концы.

То как раз "моя пила" относилась к общему случаю объемлемых линий.

Алексей К. в сообщении #603301 писал(а):

Это замечание связано с тем, что Вы не умеете читать определения (уже обнаруживалось).

Ну будем считать, что благодаря Вам научился.

-- Пн авг 06, 2012 00:41:44 --

Алексей К. в сообщении #603301 писал(а):

....
Просто оказывается, что если вторая производная функции всюду определена и не меняет знак, то фигура, образованная графиком той функции и хордой, выпукла.
....

Так вот, в исходной задаче, в месте стыка прямой и оружности - производная не определена.

[gris]

Пардон, если повторю уже написанное.
Если бы в задаче клумба была бы овальной, то все соображения для объемлимости и выпуклости остались бы, как в изначальной задаче, но очевидно, что можно подобрать размер овальной (сделаем её прямоугольной) клумбы так, что длины обхода вдоль неё и по загородке будут равны, а шевеля размер можно устроить неравенство в любую сторону.

[Shtorm]

gris, но ведь выше было уже показано, что даже если взять окружность максимально возможного радиуса (касается сторон синей линии) - то длина объемлемой будет меньше объемлющей. И в случае, когда объемлемая - гладкая кривая, её длина всегда меньше объемлющей. Разве нет? Тогда и длина половины овала будет меньше. Другое дело, если несколько овалов или эллипсов расположить на диагонали квадрата. Но тогда это уже не будет гладкой кривой.

[ewert]

Shtorm в сообщении #603340 писал(а):

И в случае, когда объемлемая - гладкая кривая, её длина всегда меньше объемлющей. Разве нет?

Нет.

[gris]

Я не совсем понял предмет дискуссии, и мне показалось, что речь идёт о поиске какого-то примера, поясняющего, что в данном случае рассуждения об объемлющей кривой не проходят, ибо путь вдоль клумбы никак нельзя назвать выпуклым, разве что в двух крайних случаях.

Мне представляется, что стоит ограничится лишь школьными представлениями, ибо на любые попытки панибратского обращения с кривыми можно вывалить кучу ужаслых контрпримеров и устроить глумление даже по определению объемлющей кривой.

В обыденных представлениях хорошая понятная замкнутая кривая без самопересечений, имеющая длину, не имеющей пересечения с внутренностями своих хорд может быть названа выпуклой.
Если выпуклая кривая $l$ и замкнутая кривая $L$ обладают свойствами, что 1) для любой точки $l$ существует хорда $L$, проходящая через эту точку и 2) ни одна хорда $l$ не пересекает $L$ в своей внутренней точке, то длина $l$ не больше длины $L$.
Объемлющие (в контексте задачи) этому свойству удовлетворяют.

[Shtorm]

ewert в сообщении #603349 писал(а):

Shtorm в сообщении #603340 писал(а):

И в случае, когда объемлемая - гладкая кривая, её длина всегда меньше объемлющей. Разве нет?

Нет.

Тогда переформулирую так: Если объемлемая - гладкая кривая, выпукла в ту же сторону, что и объемлющая, то длина объемлемой всегда меньше длины объемлющей. Так?
Уважаемый ewert, только не надо требовать с меня определений, что такое выпукла в ту же сторону. Сами знаете, с определениями у меня слабовато Если я не прав, просто приведите мне контрпример.

-- Пн авг 06, 2012 15:09:43 --

gris в сообщении #603386 писал(а):

Я не совсем понял предмет дискуссии, и мне показалось, что речь идёт о поиске какого-то примера, поясняющего, что в данном случае рассуждения об объемлющей кривой не проходят, ибо путь вдоль клумбы никак нельзя назвать выпуклым, разве что в двух крайних случаях.

Так и есть. Но тем не менее, путь оказался короче. Может в последствии можно как-то сформулировать свойство или теорему и о таком объемлемом пути.
gris, но тем не менее, Вы согласны, что если вместо окружности будет один овал - то все равно путь окажется короче?

[gris]

Вы как-то незаметно вставили слово "выпуклая", хотя и не стали говорить, что это такое.
Но для объемлющей кривой никто не требовал выпуклости, а раз нет выпуклости, то непонятно, в какую сторону выпукивать объемлемую. Кроме того, даже в обывательских терминах окружность, например, выпукла во все стороны.

Нет, насчёт овала не согласен. Можно сделать как длиннее, так и короче.
Длиннее можно сделать, так как $4>2\sqrt 2$

[Shtorm]

gris, может я что-то недопонимаю, ну тогда пожалуйста объясните мне:




Если мы будем вытягивать дугу больше в сторону угла $D$, то всё равно как бы мы ни тянули и не меняли кривизну этой дуги, но $AD+DC$ всегда больше чем длина дуги, при условии, что концы дуги фиксированы в точках A и С и дуга не выходит за пределы квадрата.
В чём же я не прав?

[ewert]

Shtorm в сообщении #603437 писал(а):

Если объемлемая - гладкая кривая, выпукла в ту же сторону, что и объемлющая, то длина объемлемой всегда меньше длины объемлющей. Так?

Совершенно верно. Но клумба-то с дорожкой не выпукла ни в каком смысле.

[Shtorm]

ewert в сообщении #603483 писал(а):

...Но клумба-то с дорожкой не выпукла ни в каком смысле.

Согласен. Однако она оказалась короче. Если мы будем во всех объемлемых, гладких, выпуклых в ту же сторону кривых, заменять некоторые участки на прямые линии - каким-то определённым образом - то можно ли подобрать такой способ замены, что все они (получившиеся фигуры кусочно-заданные) будут короче объемлющей (хотя уже и не будут выпуклыми)?? Можно ли подобрать такой способ замены? и соответственно сформулировать свойство?

[gris]

Представьте себе, что очень узкая и длинная клумба расположена вдоль второй диагонали. Чтобы обойти её заданным способом, нам нужно пройти длину почти двух диагоналей квадрата. А путь по периметру будет иметь длину около полутора длины диагонали, то есть меньше. Но внутренний путь даже политкорректный ewert не может признать выпуклым ни в каком разумном смысле.

А все уже согласились с тем, что требование выпуклости объемлемой кривой является достаточным для того, чтобы любая объемлющая кривая имела большую длину. Разумеется, это всё в обывательских определениях выпуклости и объемлимости.

На самом деле это свойство давным-давно высказал Виктор Ширшов: Любой пруд короче всего обойти вокруг вдоль его выпуклой оболочки.
В контексте рассматриваемой задачи можно так поставить вопрос: В квадратном парке с круглой клумбой посередине найти кратчайший путь между противоположными углами парка. А так как Вы любитель задач оптимизации, представьте, что в парке много разных круглых клумб.

[Shtorm]

gris в сообщении #603508 писал(а):

Представьте себе, что очень узкая и длинная клумба расположена вдоль второй диагонали. Чтобы обойти её заданным способом, нам нужно пройти длину почти двух диагоналей квадрата.

Вот теперь ясно и наглядно. Спасибо.

gris в сообщении #603508 писал(а):

В контексте рассматриваемой задачи можно так поставить вопрос: В квадратном парке с круглой клумбой посередине найти кратчайший путь между противоположными углами парка. А так как Вы любитель задач оптимизации, представьте, что в парке много разных круглых клумб.

Это что-то типа такого: