Об ожерельях и производящей функции для числа инверсий

[e7e5]

Задача об ожерельях хорошо известна, когда "The number of fixed necklaces of length $n$ composed of $a$ types of beads $N(n,a)$ может быть вычеслено.
http://mathworld.wolfram.com/Necklace.html

Рассмотрим предел произведения $\lim_{n\to \infty}\prod_{p=1}^n N(p,a)$
Нетрудно показать, что с точностью до несущественного множителя предел совпадает с производящей функцией для числа инверсий

Возникает вопрос, как можно объяснить данный результат "на пальцах", каково влияние свойств симметрической группы?

[apriv]

e7e5 в сообщении #602032 писал(а):

Нетрудно показать, что с точностью до несущественного множителя предел совпадает с производящей функцией для числа инверсий

Я ничего не понял; предел произведений чисел совпадает с функцией? Производящая функция какой именно последовательности (функции от какого натурального параметра)?

[e7e5]

apriv в сообщении #602466 писал(а):

e7e5 в сообщении #602032 писал(а):

Нетрудно показать, что с точностью до несущественного множителя предел совпадает с производящей функцией для числа инверсий

Я ничего не понял; предел произведений чисел совпадает с функцией? Производящая функция какой именно последовательности (функции от какого натурального параметра)?

$\frac {a^n} {n!}$ $\prod_{p=1}^n \frac {1-a^p} {1-a}$

[apriv]

Вы пока что не ответили ни на один из моих вопросов. Кроме того, указанная Вами производящая функция не очень-то похожа на произведение формул для числа ожерелий.

[e7e5]

apriv в сообщении #602506 писал(а):

Кроме того, указанная Вами производящая функция не очень-то похожа на произведение формул для числа ожерелий.

рассматриваемый предел для задачи об Ожерельях ( не забудем, что рассматриваем $n \to \infty$ можно представить в виде ( аппроксимировать):
$\frac {a^n} {n!}$ $\prod_{p=1}^n \frac {1-a^p} {1-a}$

Если отбросить множитель $\frac {a^n} {n!}$, то $\prod_{p=1}^n \frac {1-a^p} {1-a}$
по виду напоминает производящую функцию для числа инверсий, например Теорема 1 в работе:
www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/M ... rsions.pdf

[apriv]

e7e5 в сообщении #602600 писал(а):

рассматриваемый предел для задачи об Ожерельях ( не забудем, что рассматриваем $n \to \infty$ можно представить в виде ( аппроксимировать):

Представить его в таком виде нельзя, а аппроксимировать, может, и можно, только нужно уточнить, что это вообще значит — аппроксимировать производящую функцию. Пока что ее коэффициенты от этой «аппроксимации» уезжают куда-то далеко.

[e7e5]

apriv в сообщении #602608 писал(а):

Представить его в таком виде нельзя, а аппроксимировать, может, и можно, только нужно уточнить, что это вообще значит — аппроксимировать производящую функцию.

Всего лишь утверждается, что при $n \to \infty$ выполняется асимптотическое равенство
$\prod_{p=1}^n N(p,a) \approx \frac {a^n} {n!}$ $\prod_{p=1}^n \frac {1-a^p} {1-a}$
Здесь еще мы не говорим о производящей функции.

[aspair]

e7e5 в сообщении #602600 писал(а):

Если отбросить множитель $\frac {a^n} {n!}$

А как получился этот самый множитель?

[e7e5]

aspair в сообщении #891248 писал(а):

e7e5 в сообщении #602600 писал(а):

Если отбросить множитель $\frac {a^n} {n!}$

А как получился этот самый множитель?

Множитель появляется при оценке произведения, используя теорему Пойа.