Интервальная оценка

[alexey007]

В результате сатистического моделирования получаю выборку случайной величины $Y_1,Y_2,Y_3,...Y_N$ закон распределения которой неизвестен($N\approx100$). Можно ли не зная аналитический вид закона распределения $F(Y)$ случайной величины $Y$, определить значения $F(\min_{i}(Y_i))=?$ и $F(\max_{i}(Y_i))=?$

[Александрович]

Разве что создав достаточно много таких выборок.

[alexey007]

Хорошо, а на одной выборке можно как нибудь сделать оценку $F(\min_{i}(Y_i))<\alpha$ и $F(\max_{i}(Y_i))>\beta$?

[ewert]

Никак, если не задано априорное распределение. Или если оно хоть статистически не оценено, но даже для проверки значимости конкретного распределения предварительно должна быть выдвинута хоть какая-то гипотеза о его явном виде. Иначе -- бессмысленно.

[Александрович]

alexey007 в сообщении #602394 писал(а):

Хорошо, а на одной выборке можно как нибудь сделать оценку $F(\min_{i}(Y_i))<\alpha$ и $F(\max_{i}(Y_i))>\beta$?

Можно. $Y_{\max}$ - 99%-ная выборочная квантиль. Нужно построить доверительный интервал для генеральной 99%-ной квантили.

[alexey007]

Александрович в сообщении #602574 писал(а):

alexey007 в сообщении #602394 писал(а):

Хорошо, а на одной выборке можно как нибудь сделать оценку $F(\min_{i}(Y_i))<\alpha$ и $F(\max_{i}(Y_i))>\beta$?

Можно. $Y_{\max}$ - 99%-ная выборочная квантиль. Нужно построить доверительный интервал для генеральной 99%-ной квантили.

Да, это то что нужно. Не подскажите как это сделать или где можно это посмотреть?

[Александрович]

Я не то написал. Интервал для квантили не зная распределения построить нельзя. Вы можете найти доверительный интервал для генеральной доли.
http://sider.home.nov.ru/book/side2/ch5_3.htm

[Александрович]

Если генеральная совокупность, из которой извлечена безповторная выборка конечная, то следует применять функцию гипергеометрического распределения.

[alexey007]

Спасибо за ссылки, почитал, только не знаю как мне их применить. Сам не совсем хорошо понимаю как мне лучше поступить. По идеи у меня есть выборка $Y_1,Y_2,...Y_N$ из нее я хочу получить доверительный интервал $[Y_{min},Y_{max}]$ такой, что $P(Y_{min}<Y<Y_{max})=\alpha$. Поясню зачем мне это нужно. Мне дают выборку $Y_1,Y_2,...Y_N$ и говорят, что максимальное и минимально значение из этой выборки покрывает весь диапазон случайной величины $Y$ с вероятностью $\alpha$(например $\alpha=0.95$), причем закон распределения неизвестен. Так вот я хочу это как-нибудь проверить. Можно ли это сделать грамотно?

[Александрович]

Никак не проверите. Экономисты применяют (правда необоснованно) правило 6 сигм. Вам только остаётся (для 95% вероятности) отложить от среднего значения вправо и влево по две сигме.

-- Сб авг 04, 2012 07:39:56 --

alexey007 в сообщении #602861 писал(а):

Мне дают выборку $Y_1,Y_2,...Y_N$ и говорят, что максимальное и минимально значение из этой выборки покрывает весь диапазон случайной величины $Y$ с вероятностью $\alpha$(например $\alpha=0.95$), причем закон распределения неизвестен. Так вот я хочу это как-нибудь проверить. Можно ли это сделать грамотно?

У вас выборка достаточно объёмная для проверки гипотезы о принадлежности её к какому-либо виду распределения. Гистограмму выборки можете показать?

[Александрович]

alexey007 в сообщении #602861 писал(а):

...у меня есть выборка $Y_1,Y_2,...Y_N$ из нее я хочу получить доверительный интервал $[Y_{min},Y_{max}]$ такой, что $P(Y_{min}<Y<Y_{max})=\alpha$.

Доверительный интервал строится для неслучайной величины.

[alexey007]

Гистограмму недавно полученной выборки могу показать, но мне в будущем придется проверять и другие выборки у которых закон распределения будет иметь совсем другой вид, поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь способ оценить квантили уровня $\alpha=0.95$ имея выборку $Y_1,Y_2,...Y_N$ неизвестного распределения. Может быть, существуют какие-нибудь способы разложения эмпирической функции распределения по гауссовским функциям или еще что то? Вообще про случайную величину $Y$ известно, что она есть функция от $X_1,X_2,...,X_k$ случайных величин, которые имеют равномерное распределение (интервал распределения известен). Но вид зависимости $Y=F(X_1,X_2,...X_k)$ - неизвестен. Выборка $Y_1,Y_2,...Y_N$ получается случайным розыгрышем $X_1,X_2,..X_k$. Была идея получить линейное или квадратичное приближение функции $Y=F(X_1,X_2,...X_k)$ вблизи среднего значения. Потом получить функцию распределения для линейного приближения и уже по этой функции распределения получить квантили порядка $\alpha=0.95$.

[Andrew Gubarev]

alexey007 в сообщении #602861 писал(а):

Мне дают выборку $Y_1,Y_2,...Y_N$ и говорят, что максимальное и минимально значение из этой выборки покрывает весь диапазон случайной величины $Y$ с вероятностью $\alpha$(например $\alpha=0.95$), причем закон распределения неизвестен.

Увы, в общем случае, только неограниченный с обеих сторон интервал будет накрывать все значения случайной величины. Поэтому обычно требую, чтобы интервал ($X_n^- \le X \le X_n^+$) накрывал с наперед заданной вероятностью $\beta$ не все значения, а лишь часть, например, такую что $F(X_n^+) - F(X_n^-) \ge \gamma$. Грубо говоря, так приходят к понятию толерантного интервала.

Описание простейшего «свободного от распределения» толерантного интервала приводится, например, в Гл. 32 (Некоторые применения порядковых статистик), п. 32.11 книги
Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973 (djvu).

[alexey007]

Спасибо всем за ответы. Начал разбираться с понятием толерантных интервалов. Прочитал здесь http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%AB%D0%99. Думаю использовать формулу $(2)$ из ссылки $I_{1-p}(n-s+r+1,s-r)=\gamma$. Насколько я понял, формулу (2) нужно применять следующим образом, если у меня есть выборка $X_1,X_2,...X_n$, то толерантными пределами будут элементы выборки $X_r$ и $X_s$(где $1\le r\le s\le n$), т.е. $P(X_r\le X\le X_s)\ge p$, так же $X_r$ и $X_s$ определяются с уровнем доверия $0\le \gamma \le 1$ Где номера элементов выборки $r$ и $s$ нужно будет определять из уравнения $(2)$. Я правильно все понял?

[Andrew Gubarev]

В принципе, да. Однако при заданных $p$, $\gamma$ и $n$ соотношению (2) могут не удовлетворять никакие из допустимых значений индексов $s$ и $r$, и для того, чтобы (2) имело решение следует увеличить $n$, или уменьшить $p$ или $\gamma$.

Проиллюстрирую сказанное на случае $s=n$, $r=1$. В этом случае соотношение (2) имеет вид

$$(n-1)p^n - np^{n-1}+1 = \gamma \quad (2').$$

При заданных $p$, $\gamma$ находится такое $n$, чтобы соотношение (2’) выполнялось (т.е. перед проведением эксперимента находится такой объем выборки, чтобы иметь возможность построить толерантный интервал с заданными $p$ и $\gamma$). Если $p=\gamma = 0.8$, то $n = 14$; если $p=\gamma = 0.9$, то $n = 38$; если $p=\gamma = 0.95$, то $n = 93$.

(В книге Кендалла и Стьюарта все это подробно написано.)