Магический квадрат из квадратов

[Побережный Александр]

Магический квадрат из девяти клеток общеизвестен. Но у меня возник вопрос, возможен ли магический квадрат в клетках которого стояли только квадраты натуральных чисел. Честно скажу, своими силами подступиться к решению не получается. Возможно задача решена, но я не видел подобных решений.

[Mathusic]

Да, такие квадраты существуют.
Причём, даже "сильные" такие квадраты: магический квадрат называется бимагическим, если квадраты элементов в том же порядке снова составляют магический квадрат.
http://mathworld.wolfram.com/BimagicSquare.html
На форуме они уже упоминались, понятно в какой теме. Там и результаты последние по ним были.

(как пример из статьи по ссылке)

[Побережный Александр]

А где же магические квадраты из квадратов натуральных чисел? Или я что-то не понимаю...

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #600824 писал(а):

А где же магические квадраты из квадратов натуральных чисел? Или я что-то не понимаю...

По ссылке ходили? Сообщение моё читали?
Приведенные квадраты - бимагические.

[Побережный Александр]

Видимо я не корректно изложил постановку задачи.
Попробую подругому сформулировать. Можно ли составить магический квадрат из элементов последовательности чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Последовательность состоит из квадратов натуральных чисел. Надеюсь, сейчас понятно постановка задачи. )

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #600907 писал(а):

Попробую подругому сформулировать. Можно ли составить магический квадрат из элементов последовательности чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Последовательность состоит из квадратов натуральных чисел. Надеюсь, сейчас понятно постановка задачи. )

Так. Похоже, вы мои посты всё-таки не читали...
Возьмите любой квадрат из поста 2, возведите его элементы в квадрат - получите то, что желаете!

[Побережный Александр]

Уважаемый Mathusic, приношу свои извинения. Я ошибся в своих расчетах.
Не подскажете как можно рассуждать при поиске таких магических квадратов? Неужели просто перебором?

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #600918 писал(а):

Не подскажете как можно рассуждать при поиске таких магических квадратов? Неужели просто перебором?

Есть какие-ть эвристические алгоритмы, наверно.
На форуме есть люди, которые на порядки лучше меня знают об этих вещах, но пока интерес к теме они не проявляют.

[BapuK]

Вам сюда: topic12959.html

[maxal]

Побережный Александр в сообщении #600796 писал(а):

Магический квадрат из девяти клеток общеизвестен. Но у меня возник вопрос, возможен ли магический квадрат в клетках которого стояли только квадраты натуральных чисел. Честно скажу, своими силами подступиться к решению не получается. Возможно задача решена, но я не видел подобных решений.

Это открытая проблема, за решение которой можно получить 1000 евро и бутылку шампанского:
http://www.multimagie.com/English/Squar ... Search.htm

Приз на самом деле дают даже за решение более простой задачи по составлению квадрата 3x3 из всего лишь 7 квадратов (два оставшихся элемента - произвольные), существенно отличного из единственного известного такого квадрата.

[Побережный Александр]

Когда я пробовал решить магический квадрат из девяти клеток с квадратными числами, то пришел к некоторым диофантовым уравнениям, которые вызывают у меня затруднения.

Первое: $a^2+b^2=2c^2$. Очень похожее на теорему Пифагора, но другое. Хотя бы одно решение есть $1^2+7^2=2\cdot5^2$

Второе: $a^2+b^2=c$

Имеют ли решения эти уравнения?

[maxal]

Побережный Александр в сообщении #618251 писал(а):

Первое: $a^2+b^2=2c^2$. Очень похожее на теорему Пифагора, но другое. Хотя бы одно решение есть $1^2+7^2=2\cdot5^2$

Как раз недавно его обсуждали: topic62083.html

[Побережный Александр]

Мaxal, спасибо за полезную ссылку. А по второму уравнению никакой информации не имеете?
Буду весьма признателен.

[maxal]

Побережный Александр
См. "Глава V. Суммы квадратов" в книге "Высшая арифметика".