Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования

[Sverest]

Найти решение задачи нелинейного программирования применяя условия Куна-Таккера, предварительно исследовав целевую функцию на выпуклость

$\min f=x_{1}^2+2x_{2}^2-16 x_1-20x_2$

$2x_1+5x_2 \le 40$

$2x_1+x_2 \le 16$

$x_1,x_2 \ge 0$

$d_{11}=1\: \: d_{12}=0 \:\: d_{21}=0 \: \:d_{22}=2$

$q_{11}=2 \:\: q_{12}=0 \: \:q_{21}=0 \: \:q_{22}=4$

$\Delta_1=2 > 0$

$\Delta_2=8-0 > 0$
положительно определена
функция строго выпукла вниз

функция Ланграджа

$L(x, \lambda)=x_{1}^2+2x_{2}^2-16 x_1-20x_2+\lambda_1(2x_1+5x_2-40)+\lambda_2(2x_1+x_2-16)$

$\left\{\begin{matrix} \left ( \frac{\partial L}{\partial x_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(-16+2x_1+2 \lambda_1+2\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \geqslant 0 \\ \\ x_1^{*} \left ( \frac{\partial L}{\partial x_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= x_1 \left .(-16+2x_1+2 \lambda_1+2\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} = 0 \\ \\ \left ( \frac{\partial L}{\partial x_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(-20+4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \geqslant 0 \\ \\ x_2^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial x_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=x_2 \left .(-20+4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} = 0 \\ \\ \left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(2x_1+5x_2-40)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \leqslant 0 \\ \\ \lambda_1^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=\lambda_1 \left .(2x_1+5x_2-40)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>}= 0 \\ \\ \left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(2x_1+x_2-16)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \leqslant 0 \\ \\ \lambda_2^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=\lambda_2 \left .(2x_1+x_2-16)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>}= 0 \\ \\ x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} 2x_1+2\lambda_1+2\lambda_2 \geqslant 16 \\ 4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2 \geqslant 20 \\ 2x_1+5x_2 \leqslant 40\\ 2x_1+x_2 \leqslant 16 \\ x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} 2x_1+2\lambda_1+2\lambda_2 -u_1 =16 \\ 4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2 -u_2= 20 \\ 2x_1+5x_2 +v_1= 40\\ 2x_1+x_2 +v_2=16\\ x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0 \end{matrix}\right.$

$x_1u_1=0 \\ x_2u_2=0 \\ \lambda_1 v_1=0 \\ \lambda_2 v_2=0 $

$ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \\ \text{базисные} & \text{свободные} & x_1&x_2&u_1&u_2&v_1&v_2&\lambda_1&\lambda_2 \\ \hline &16&2&0&-1&0&0&0&2&2 \\ \hline &20&0&4&0&-1&0 &0&5&1\\ \hline v_1&40&2&5&0&0&1&0&0&0 \\ \hline v_2&16&2&1&0&0&0&1&0&0 \\ \end{tabular}$

[мат-ламер]

Комментарии к формулам расставьте. Рисунок нарисуйте. Найдите графически оптимальную точку. Проверьте для неё условие Куна-Таккера.

[Sverest]

Графическим методом её здесь решали: http://dxdy.ru/topic56909.html

[Профессор Снэйп]

Sverest в сообщении #599566 писал(а):

функция Ланграджа

Лагранжа

[мат-ламер]

Sverest в сообщении #599751 писал(а):

Графическим методом её здесь решали: http://dxdy.ru/topic56909.html

Подставьте оптимальную точку оттуда в вашу большую фигурную скобку и посмотрите, что там получается.

[Shtorm]

Sverest, а после введения дополнительных переменных $v_1, v_2, u_1, u_2$ в задании не требуется применить метод искусственного базиса?

[Sverest]

Shtorm в сообщении #599903 писал(а):

Sverest, а после введения дополнительных переменных $v_1, v_2, u_1, u_2$ в задании не требуется применить метод искусственного базиса?

Нет, ни о чем таком в задании не говорится

[Shtorm]

Sverest, ну вот лично я знаком только с таким решением задачи выпуклого программирования, в котором после введения этих дополнительных переменных используется метод искусственного базиса.