Решить уравнение

[DjD USB]

1) дано 100 последовательных натуральных чисел .можно ли их расставить так по окружности чтобы произведение любых двух соседних чисел было точным квадратом.
2)Решить в целых числах уравнение $3^n+55=y^2$.(Вообще не получается доказал что n четно и решения далекие есть по модулю не выходит)
Найдите все натуральные x и у такие что $x^2+y;y^2+x$ точные квадраты

[ewert]

DjD USB в сообщении #599575 писал(а):

Решить в целых числах уравнение $3^n+55=y^2$.(Вообще не получается доказал что n четно

Замечательно. Теперь перенесите степень тройки вправо и разложите на множители.

[DjD USB]

ewert в сообщении #599583 писал(а):

DjD USB в сообщении #599575 писал(а):

Решить в целых числах уравнение $3^n+55=y^2$.(Вообще не получается доказал что n четно

Замечательно. Теперь перенесите степень тройки вправо и разложите на множители.

Дейвствительно я что-то я тупанул

[Cash]

Цитата:

Найдите все натуральные x и у такие что $x^2+y;y^2+x$ точные квадраты

Можно считать, что $x \geq y$. Тогда $x^2 < x^2+y \leq x^2+x$

[DjD USB]

Cash в сообщении #599602 писал(а):

Цитата:

Найдите все натуральные x и у такие что $x^2+y;y^2+x$ точные квадраты

Можно считать, что $x \geq y$. Тогда $x^2 < x^2+y \leq x^2+x$

я не понимаю к чему это

[Shadow]

Если $y\le 2x$, то $x^2<x^2+y<(x+1)^2$
значит...
аналогично...

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #599575 писал(а):

1) дано 100 последовательных натуральных чисел .можно ли их расставить так по окружности чтобы произведение любых двух соседних чисел было точным квадратом.

Если это возможно, то произведение всех чисел было бы квадратом.
Вообще, несложно подумать и как это в общем виде решать Все числа $k$ надо освободить от квадратов - получим числа $h(k)$. Тогда $ab=c^2 \Leftrightarrow h(a)=h(b)$. Вообще $a\to h(a)$ - гомоморфизм $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}_2^{|\mathbb{N}|}$. В итоге, мультимножество всех $h(a)$ должно распадаться на ... дальше очевидно. Вообще простая задача

[DjD USB]

2 и 3 задачу понял.Но первую никак не пойму решения.Вот мое допустим у нас есть из ста чисел самое большое простое число тогда у него не может быть пары(Вот только вопрос а среди ста последовательных чисел всегда ли есть простое число

[Shadow]

DjD USB в сообщении #599615 писал(а):

2 и 3 задачу понял.Но первую никак не пойму решения.Вот мое допустим у нас есть из ста чисел самое большое простое число тогда у него не может быть пары(Вот только вопрос а среди ста последовательных чисел всегда ли есть простое число

$101!+2,101!+3\cdots 101!+101$

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #599615 писал(а):

Вот мое допустим у нас есть из ста чисел самое большое простое число тогда у него не может быть пары(Вот только вопрос а среди ста последовательных чисел всегда ли есть простое число

Почему обязательно брать произвольные $100$ последовательных чисел - разве Вам нужно столь общее утверждение?
Можно ли расположить требуемым образом $3$ и $21$? Можно ли $3$ и $75$? Можно ли расположить так $2,2^2,2^3,2^3$?
Думайте, очень простая задача

[Cash]

Не всегда. Существуют сколь угодно длинные цепочки последовательных составных чисел.
Но это можно преодолеть. Возьмем число вида $4t+2$. Достаточно очевидно, что оно и его соседи представимы в виде $2p^2$. Пусть $2n^2=a>b=2m^2$. И поскольку $a-b<100$, то $100>(m-k)(m+k)\geq m+k$ и наши числа не очень то и большие

Хотя, правда, после фразы
Достаточно очевидно, что оно и его соседи представимы в виде $2p^2$
доказательство можно завершать.

[DjD USB]

Shadow в сообщении #599616 писал(а):

DjD USB в сообщении #599615 писал(а):

2 и 3 задачу понял.Но первую никак не пойму решения.Вот мое допустим у нас есть из ста чисел самое большое простое число тогда у него не может быть пары(Вот только вопрос а среди ста последовательных чисел всегда ли есть простое число

$101!+2,101!+3\cdots 101!+101$

Понял