Помогите с итегралом

[kumatoid]

Подскажите как считается такой интеграл, совсем не понятно что с ним делать \int_R{\frac {e^{-x^2}}{z-x}dx}$, z - комплексное. Это что-то вроде преобразования Коши-Стильтеса для стандартного-нормального распределения.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[muzeum]

Может быть так?
Пусть $z=a+bi$ (не понимаю, зачем комплексную постоянную обозначать через $z$)
Домножьте числитель и знаменатель на $\bar{z}-x=a-bi-x$.
Задача сведется к двум интегралам вещественной переменной.

[vladiko]

Судя по виду ,это преобразование Гильберта для стандартного нормального распределения. И насколько мне помнится оно не выражается в стандартных функциях.

[kumatoid]

преобразование гильберта - это вещественная часть от этого интеграла и то что оно не выражается в стандартных функциях - звучит как-то не очень(

[muzeum]

kumatoid в сообщении #598761 писал(а):

преобразование гильберта - это вещественная часть от этого интеграла и то что оно не выражается в стандартных функциях - звучит как-то не очень

Если считать, что в преобразовании Гильберта $z$ - произвольное комплексное, то это именно преобразование Гильберта (без учета коэффициента). А если считать, что это вещественное число, то сомнительно, чтобы получилась вещественная часть. Хотелось бы взглянуть на соображения.

[kumatoid]

собственно тот интеграл что я написала - это преобразование коши (коши-стильтьеса) для меры (с точностью до константы). вещественная часть этого интеграла совпадает с преобразованием гильберта для данной меры, а из мнимой части можно по Stieltjes inversion formula восстановить саму меру. смысл у этих двух величин тоже разный, но если вам нравиться называть этот интеграл преобразованием гильберта, то я лично ничего против не имею)))

-- 25.07.2012, 07:31 --

а как понять что интеграл не выражается в стандартных функциях? где об этом прочитать или есть таблицы таких интегралов? что с ними делают?

[Профессор Снэйп]

А интеграл по вещественной прямой, да?

А нельзя какой-нибудь хитрый контур и методами ТФКП, через вычеты?

[still alive]

Профессор Снэйп в сообщении #599018 писал(а):

А нельзя какой-нибудь хитрый контур и методами ТФКП, через вычеты?

Из-за экспоненты в числителе трудно будет выбрать такой контур, чтобы интеграл от аналитического продолжения в комплексной плоскости не был расходящимся. Стандартный пример с кругом бесконечно-большого радиуса не сработает, на нём аналитическое продолжение стремится в бесконечность. Разве что действительно очень хитрый контур, но $z$ произвольно, а вычет надо будет считать именно в этой точке так что контур должен будет её охватывать.

[Vince Diesel]

Математика дает

$$ e^{-z^2} \left(\pi \text{erfi}(z)-\log \left(-\frac{1}{z}\right)-\log (z)\right),\quad\operatorname{Im}(z)\neq 0. $$

[kumatoid]

спасибо! у меня нет математики под рукой. скажите, а что значит erfi(z)

[muzeum]

Имеется "хрупкая идея", которую детально не проверил, но, кажется, можно так .
Суть в следующем: приводим интеграл к виду:
$I(z)=2\int_{l}\frac{e^{-z^2w^2}}{1-w^2}\,dw$
Здесь интегрирование по лучу с началом в нуле, проходящем через точку $\frac{1}{z}$. Теперь зафикструем число $z$ и рассмотрим функцию $I(v)=2\int_{l}\frac{e^{-v^2w^2}}{1-w^2}\,dw$ комплексного аргумента v, при этом луч интегрирования не зависит от $v$. Фактически, это функция двух аргументов, один из которых мы считаем постоянной. Кажется, здесь при достаточно широких допущениях возможно дифференцирование по параметру.

[Vince Diesel]

kumatoid в сообщении #599092 писал(а):

спасибо! у меня нет математики под рукой. скажите, а что значит erfi(z)

Определяется через функцию ошибок:

$$ \mathrm{erfi}(z)=\mathrm{erf}(iz)/i. $$

[muzeum]

Что-то у меня получается иначе.
$I(z)=\int_{l}\frac{e^{-z^2w^2}}{1-w^2}\,dw$, где $l$ - прямая, проходящая через ноль и точку $\bar{z}$ - комплексно-сопряженное.
Положим модуль $z$ равным $r$ и зафиксируем аргумент $z$, чтобы посмотреть, как интеграл зависит от модуля.
Получим: $I(r)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-r^2x^2}}{1-{\varepsilon^2}x^2}\,dx$ , где $\varepsilon=\frac{\bar{z}}{|z|}$
Кажется, эту штуку можно дифференцировать по параметру (вещественному), что дает соотношение:
$I'(r)=-2rI(r)$
Предложенные выше ответы почему-то этому не удовлетворяют.
Мой ответ такой: $I(z)={\pi}ie^{-z^2}$.
Наверно я где-то ошибся. Там было решение с помощью пакета Математика, похожий на этот, вот только что такое $erfi(z)$ в этом пакете?

[muzeum]

muzeum в сообщении #599372 писал(а):

Что-то у меня получается иначе.
$I(z)=\int_{l}\frac{e^{-z^2w^2}}{1-w^2}\,dw$, где $l$ - прямая, проходящая через ноль и точку $\bar{z}$ - комплексно-сопряженное.
Положим модуль $z$ равным $r$ и зафиксируем аргумент $z$, чтобы посмотреть, как интеграл зависит от модуля.
Получим: $I(r)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-r^2x^2}}{1-{\varepsilon^2}x^2}\,dx$ , где $\varepsilon=\frac{\bar{z}}{|z|}$
Кажется, эту штуку можно дифференцировать по параметру (вещественному), что дает соотношение:
$I'(r)=-2rI(r)$
Предложенные выше ответы почему-то этому не удовлетворяют.
Мой ответ такой: $I(z)={\pi}ie^{-z^2}$.
Наверно я где-то ошибся. Там было решение с помощью пакета Математика, похожий на этот, вот только что такое $erfi(z)$ в этом пакете?

Здесь я, конечно, накосячил при дифференцировании, но способ решения таки срабатывает. Но теперь мы уже не будем переходить к модулям, а вернемся к преждней "хрупкой идее" с небольшими упрощениями.

Суть в следующем: приводим интеграл к виду:
$I(z)=\int_{l}\frac{e^{-z^2t^2}}{1-t^2}\,dt$
Здесь интегрирование по прямой $t=\frac{x}{z}$, где $x$ вещественное. Теперь зафикструем число $z$ и рассмотрим функцию $I(w)=\int_{l}\frac{e^{-w^2t^2}}{1-t^2}\,dt$ комплексного аргумента $v$, при этом прямая интегрирования не зависит от $w$. Фактически, это функция двух аргументов, один из которых мы считаем постоянной. $\varphi,\psi$ - аргументы $z,w$ соответственно. Будем считать, что эти аргументы не превосходят по модулю $\pi/4$ и друг от друга отличаются не более, чем на $\pi/6$. При этих допущениях возможно дифференцирование по параметру. Получим соотношение:
$I'(w)=-2w\left(I(w)-\int_{l}e^{-w^2t^2}\,dt\right)$
В полученном справа интеграле подынтегральная функция целая, и интеграл от нее по прямой $l$ равен интегралу по прямой $m$
$t=\frac{x}{w}$.Переходим к этой прямой и делаем замену переменной $t=\frac{x}{w}$. Этот интеграл равен $\frac{\sqrt{2\pi}}{w}$.
Получили диффур для $I(w)$
$I'(w)=-2wI(w)+2\sqrt{2\pi}$ c условием, что $I(w)\to\,{\pi}i$ при $w\to\,0$.