Определение конуса

[Shtorm]

Побережный Александр в сообщении #598445 писал(а):

Поскольку вопрос возник при рассмотрении наклонного конуса, то интересует сечение двумя параллельными плоскостями, чтобы основаниями получившегося усеченного конуса были два круга разных диаметров.

Ну первое, что приходит в голову - это берём обычный круглый прямой конус и наклоняем его. В результате -в основании получается уже не круг, а эллипс (плоская фигура ограниченная эллипсом, строго говоря). Соответственно, сечём двумя параллельными плоскостями под углом конус - и в сечении получаем два круга.

[Побережный Александр]

Такое рассуждение не проходит. Оно не объясняет наклонный усеченный конус с круглыми основаниями.

Я вообще предлагаю для сравнения разных конусов использовать единичную сферу с центром в вершине конуса. По фигуре пересечения конуса и сферы можно делать определенные заключения. К примеру, коническая поверхность прямого конуса будет отсекать на единичной сфере окружность. А вот что будет отсекать на единичной сфере наклонный конус с кругом в основании?

[gris]

На сфере это будет неплоская кривая.

[Побережный Александр]

Поскольку конус с неплоским основанием не рассматривается, то хотелось бы выяснить, какую оптимальную плоскость выбрать для основания, чтобы проекция неплоской кривой была с минимальными отклонениями?
И еще, правильно ли я понимаю, что формула для объема наклонного конуса уже будет не площадь круга на высоту и на треть?

[Алексей К.]

Побережный Александр в сообщении #598622 писал(а):

правильно ли я понимаю, что формула для объема наклонного конуса уже будет не площадь круга на высоту и на треть?

$$V=\int\limits_0^H S(h)\,dh,\quad \frac{S(h)}{S(H)}=\frac{h^2}{H^2}$$

(высота $h$ отсчитывается, как видно, от вершины: $S(0)=0$). Последнее равенство называется "Площади подобных фигур относятся как".

Это, конечно, если я правильно протрактовал странное выражение "наклонный конус".

[Shtorm]

Побережный Александр в сообщении #598445 писал(а):

Поскольку вопрос возник при рассмотрении наклонного конуса, то интересует сечение двумя параллельными плоскостями, чтобы основаниями получившегося усеченного конуса были два круга разных диаметров.

Побережный Александр в сообщении #598510 писал(а):

Такое рассуждение не проходит. Оно не объясняет наклонный усеченный конус с круглыми основаниями.

Хорошо. Тогда так: Берём эллиптический прямой конус - то есть в основании фигура, ограниченная эллипсом. Этот конус стоит на столе. Наклоняем этот конус. И проводим сечения двумя параллельными плоскостями. Эти параллельные плоскости - параллельны также плоскости стола. Тогда в сечениях получатся два круга с разными диаметрами. Конечно, при таком раскладе - угол наклона конуса придётся подбирать.
Или другой вариант: при произвольном наклоне конуса - придётся подбирать угол наклона плоскостей сечения.
И третий вариант: Прямой эллиптический конус - вообще наклонять не надо, а просто подобрать угол наклона секущих плоскостей так, чтобы в них появились круги.

[Shtorm]

Побережный Александр в сообщении #598622 писал(а):

И еще, правильно ли я понимаю, что формула для объема наклонного конуса уже будет не площадь круга на высоту и на треть?

Известно, что объём наклонной пирамиды - также равен одна треть площади основания на высоту. Значит и объём наклонного конуса тоже будет равен этому.

[Joker_vD]

Это все спасибо принципу Кавальери.

[Yu_K]

(Оффтоп)

Конус конечно фигура интересная - но для "тренировки храбрости" вот такие объемы повычисляйте - вроде тоже "конус такой хитрый" -

[Побережный Александр]

Алексей К. в сообщении #598625 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #598622 писал(а):

правильно ли я понимаю, что формула для объема наклонного конуса уже будет не площадь круга на высоту и на треть?

$$V=\int\limits_0^H S(h)\,dh,\quad \frac{S(h)}{S(H)}=\frac{h^2}{H^2}$$

(высота $h$ отсчитывается, как видно, от вершины: $S(0)=0$). Последнее равенство называется "Площади подобных фигур относятся как".

Это, конечно, если я правильно протрактовал странное выражение "наклонный конус".

Алексей К. я с вами совершенно согласен о странности такого определения, но тогда подскажите как отличить любой другой конус от стандартного прямого кругового? Первая мысль - по основанию, но как оказалось в обсуждении, это не достаточный признак. Среди множества прямых конусов основание играет роль, но только в этом множестве.

[gris]

По школьному определению (Погорелов) круговой конус — это тело, состоящее из круга, называемого основанием, точки вне плоскости круга, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной.
Перпендикуляр, опущенный на плоскость основания, называется высотой.
Если основание высоты совпадает с центром круга, то конус называется прямым круговым конусом. Или просто конусом по школьному умолчанию.
В принципе, любое необходимое и достаточное условие можно считать за альтернативное (в хорошем смысле) определение понятия.
Так прямой круговой конус можно определить как тело вращения, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.

[Алексей К.]

Побережный Александр в сообщении #599043 писал(а):

но тогда подскажите как отличить любой другой конус от стандартного прямого кругового?

Что значит "как отличить"?
Во-первых, контекст конкретной статьи, книги, темы надо учитывать. Если, например, это школьная математика, то там, насколько я помню, варианты кроме "прямого кругового" (и непременно оба эпитета) не обсуждаются (плохо помню, оказывается; gris поправил). И конус есть тело, а не поверхность. Есть боковая поверхность конуса.
Наверное, конус (включающий конкретное плоское "круговое" основание) перестанет быть "прямым", если перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, не попадает в центр круга. И его поверхность при этом перестанет быть поверхностью вращения.

Если это конкретная задача (разумного автора) с эллипсом в основании конуса, то он не будет употреблять слова "прямой эллиптический", а конкретно напишет, куда попадает перпендикуляр --- в центр ли эллипса, в фокус ли, или в произвольную точку, И это будет достаточный контекст. (Полагаю, для задачи поиска круглых сечений никакой специальной "прямоты" вообще не нужно).

В общем (нешкольном) определении конической поверхности никакого "основания" не предусмотрено: вершина и образующая (пространственная, не обязательно плоская, кривая). Можно ставить вопрос --- "будет ли эта поверхность совпадать с поверхностью некого прямого кругового конуса". Ну тогда первое, что приходит в голову, --- проверить наличие оси вращения.

Вот, заметил, что Shtorm старательно пишет везде вместо "эллипс" что-то вроде "фигура, ограниченная эллипсом". К точности стремится. Да, за путаницу "круг" vs "окружность" часто попрекают, но все спокойно говорят о площади эллипса. А вот за это ---

Shtorm в сообщении #598627 писал(а):

Прямой эллиптический конус - вообще наклонять не надо, а просто подобрать угол наклона секущих плоскостей так, чтобы в них появились круги.

надо постучать. Направление нормали подбирать надо, а это не какой-то один угол.

Всё это мне кажется словоблудием на пустом месте. У кого-то случилось скучное лето.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #598459 писал(а):

Ну первое, что приходит в голову - это берём обычный круглый прямой конус и наклоняем его. В результате -в основании получается уже не круг

Я вот сейчас только разливал малиновый сок по пластиковым бутылочкам, и воронкой конической пользовался. И как я её ни наклонял, и даже стучал ею по другим поверхностям (когда ягодка проскакивала и загораживала путь для сока) --- никто не деформировался, и круг в эллипс не превратился. Наверное, слова "наклонять", "наклонный" не самые удачные.

Или мне надо было брать Пластилиновую Воронку.

[Побережный Александр]

[[quote="gris в сообщении #599048"]По школьному определению (Погорелов) круговой конус — это тело, состоящее из круга, называемого основанием, точки вне плоскости круга, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной.
quote]
Уважаемые друзья, я не собираюсь оспаривать определение Погорелова. Но давайте представим два конуса. Один из них прямой круговой конус, образованный вращением прямоугольного треугольника, и другой с таким же основанием, но проекция вершины этого конуса находится далеко за пределами основания, к тому же расстояние от вершины до плоскости основания очень маленькое. Во втором случае боковая поверхность будет сплющена, это необходимо, чтобы в основании был круг. Из этого я делаю вывод, что конические поверхности указанных тел отличаются.
Кстати, как надо определять, что две конические поверхности тождественны? Я уже предлагал, чтобы сравнить конические поверхности, свести задачу к сравнению сферических фигур. Алгоритм простой: вершины двух конических поверхностей должны совпадать и на них наложить единичную сферу с центром в вершинах конических поверхностей. Если фигуры, отсекаемые на сфере совпадают, значит конические поверхности одинаковы.

[gris]

Есть определение равенства фигур через движение, то есть преобразование, сохраняющее равенство расстояний между точками. Его можно обобщить на многомерный и бесконечный случай.
У Вас слово "совпадают" имеет смысл, отличный от просто равенства. "Совпадают" относится к фигурам привязанным к определённому месту, скажем, в системе координат. Два равных конуса могут торчать из общей вершины в разные стороны, тогда их пересечения со сферой будут равны, но не будут совпадать.
А так, да, Вы правы. Если равны пересечения со сферами одинаковых радиусов, то равны и конические поверхности.
Кстати, определение конического тела через сферу даже более широкое, чем через фигуру на плоскости, ибо включает, например, просто плоскость или дополнение до обычного конуса.