Сумма двух несчетных компактов на прямой

[xmaister]

Пусть $A,B$- несчетные компакты из $\mathbb{R}$. Верно ли, что $A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$ содержит интервал?

[Профессор Снэйп]

А если взять оба компакта нулевой меры. Не будет ли мера суммы нулевая?

P. S. В условии несчётность не прописана, только в заголовке темы. Нехорошо. Я поначалу не обратил внимания на эту несчётность.

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #598329 писал(а):

В условии несчётность не прописана, только в заголовке темы. Нехорошо.

Пардон, исправил

[mihailm]

Конечно это неверно, возьмем несчетное мно-во мощности меньше континума, мно-во пар этого множества имеет туже мощность
P.S. А извините не заметил что там компакты)

[Профессор Снэйп]

mihailm в сообщении #598374 писал(а):

возьмем несчетное мно-во мощности меньше континума

Таких множеств на складе нету. Закончились

[mihailm]

Профессор Снэйп в сообщении #598376 писал(а):

...
Таких множеств на складе нету. Закончились

Это от склада зависит - на некоторых есть, на некоторых не найти)))

[Профессор Снэйп]

mihailm в сообщении #598374 писал(а):

P.S. А извините не заметил что там компакты

Вот этот момент, кстати, важен. Компакт в $\mathbb{R}$ либо континуален, либо не более чем счётен, и это доказывается без всякой континуум-гипотезы.

Здесь обсуждалось.

[g______d]

Здесь на странице 3

http://eprints3.math.sci.hokudai.ac.jp/1077/1/056.PDF

сформулирована теорема, из которой следует, что бывает так, что интервала не содержится.

-- 23.07.2012, 23:10 --

Ну или вот еще по теме

http://mate.dm.uba.ar/~hafg/papers/kathryn2.pdf

[xmaister]

g______d, спасибо, почитаю. Тогда вопрос другой: Если $A$ и $B$ множества ненулевой лебеговой меры, верно ли что $A+B$ содержит интервал? Я знаю, что каждое множество ненулевой меры содержит несчетный компакт, но сумма таких множеств не всегда содержит интервал, поэтому такая идея не катит.