эффект кнута

[Dragon27]

Hi4ko в сообщении #593993 писал(а):

$v = \frac{dx}{dt}$

А мне почему-то кажется, что $\frac{v}{2} = \frac{dx}{dt}$

-- Вт июл 10, 2012 19:01:36 --

И, я так понимаю, из условия постоянства энергии получается другая зависимость. А как всё-таки правильнее? :)

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #594124 писал(а):

задача, которую предложил sup
эквивалентна задаче об абсолютно упругих ударах точки о стороны угла косинус которого равен $\frac{1}{\sqrt{1+m/M}}$.

Тут, увы ума у меня не хватило - сообразить, как связана эта задача с той задачей об отражениях от стенок угла. Я сделал иначе, на голой технике. Импульсы от удара к удару преобразуются линейно, матрица преобразования действительно зависит только от $\gamma=\frac{p_2}{p_1}$, её собств. величины находятся без большого труда - и далее я уже не стал доводить до конца.. всё же и муторно, и в общем понятно, что будет дальше.

[dovlato]

Спасибо, взглянул.. Однако это целый томик!
Кстати, неплохая школьная олимпиадная задача получается, если вопрос поставить - в какой момент и в какой точке нить порвётся, если дополнительно заданы её линейная плотность $\rho$ и предел прочности $f_{\max}$.

[Munin]

Задача с нитью проста, если считать, что нить состоит из двух частей, каждая из которых движется как единое целое, с общей скоростью, и в точке перегиба сохраняется импульс. А вот доказать это - может быть, и не так просто :-) Хотя нет, тоже просто, но всё-таки требует подумать.

[Ales]

Dragon27 в сообщении #594181 писал(а):

И, я так понимаю, из условия постоянства энергии получается другая зависимость. А как всё-таки правильнее? :)

По законам Ньютона сохраняются импульс и энергия.
Труба намного тяжелее нити, поэтому можно пренебречь передачей кинетической энергии на трубу и считать,
что кинетическая энергия самой нити сохраняется.
После этого решать с помощью математики.

[Oleg Zubelevich]

Кинетическая энергия системы не сохраняется.

[Munin]

А вот это уже интереснее. Кто над кем совершает работу?

[dovlato]

Вот импульс - он действительно не сохраняется: натянутый неподвижный конец отдаёт импульс стенке.
А энергия в отсутствие трения - остаётся константой.
Кстати, проинтегрировал; длина подвижного конца $x(t)$ вроде бы равна

$$x=\left(l^{3/2}-\frac34 \cdot V_0\sqrt{2l}\cdot t\right)^{2/3}$$

Можно чуть-чуть изменить условие. В условиях предыдущей задачи - поставить трубку вертикально.
Требуется найти минимальную начальную скорость $V_0$, при которой кнут развернётся весь.
А при большей скорости - при каком $x$ нить порвётся, если предельная сила $f_\max$.

[Munin]

dovlato в сообщении #596342 писал(а):

натянутый неподвижный конец

+1

[Oleg Zubelevich]

а это я фигню написал

[Munin]

dovlato
Ну так чего, доказательство, что нить сминаться не будет, набрасываете, или считаете, что это настолько очевидно, что не заслуживает обсуждения?

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #596335 писал(а):

Кинетическая энергия системы не сохраняется.

dovlato в сообщении #596342 писал(а):

Вот импульс - он действительно не сохраняется: натянутый неподвижный конец отдаёт импульс стенке.
А энергия в отсутствие трения - остаётся константой.

Мне кажется верным лервое утверждение. В финале, когда нить развернется, импульс и энергия нити равны нулю.

Есть похожая задачка , о рулоне фольги (обоев), который толкнули и он разворачивается на полу. Вначале у рулона была энергия вращения и перемещения. Задавался вопрос - куда делись эти энергии, когда рулон развернулся?

И еще, не понял причем здесь "эффект кнута", по-моему его здесь нет.

[Munin]

Xey в сообщении #596506 писал(а):

В финале, когда нить развернется, импульс и энергия нити равны нулю.

Энергия системы может в конечный момент времени иметь предел слева, не равный нулю. А потом разрыв 1 рода.

Xey в сообщении #596506 писал(а):

И еще, не понял причем здесь "эффект кнута", по-моему его здесь нет.

Это-то конечно.

[dovlato]

Munin в сообщении #596487 писал(а):

dovlato
Ну так чего, доказательство, что нить сминаться не будет, набрасываете, или считаете, что это настолько очевидно, что не заслуживает обсуждения?

1. Очевидно тут то, что не будет сминаться движущийся конец нити. В самом деле, идеальная нить "не умеет" передавать сжимающего усилия - он может быть только либо натянута, либо расслаблена.
2. Если бы нить была эластичной, то в привязанном к стенке конце начались бы какие-то колебания. Но идеальная (по условию) нить нерастяжима; как следствие - от движущейся части нити энергия не может переходить к другой её части. Логично?
Отсюда вывод: вся первоначальная кинетич. энергия сохраняется (трения нет), и она полностью остаётся в движущейся укорачивающейся части. Её движение будет происходить со всё большим ускорением, пока, наконец, не происходит разрыв.. Всё, идеализация более невозможна.
До разрыва движение куска нити текущей длины $x$ определяется ур-нием

$$xV^2=lV_0^2$$

[Munin]

dovlato в сообщении #596551 писал(а):

1. Очевидно тут то, что не будет сминаться движущийся конец нити. В самом деле, идеальная нить "не умеет" передавать сжимающего усилия - он может быть только либо натянута, либо расслаблена.

В смысле, он не будет сминаться со свободного конца. А со стороны перегиба?

Я себе представляю такую схему: не трогая тонкость нити и гладкость стенок, рассмотрим 2-3-мерную задачу, как ведёт себя нить в точке перегиба. Она там образует петлю, не обращающегося в нуль радиуса кривизны. Эта петля стабилизирована центробежной силой, растягивающей нить, а со сторон сжимается стенками трубки. Дальше можно перейти в ускоренную систему координат, в которой петля неподвижна. В этой системе координат, получится, что центробежная сила, растягивающая нить, тянет петлю вперёд, а силы натяжения концов нити - назад, и устанавливается равновесие (с оговоркой, что скорость петли растёт, так что скорость движения нити по петле растёт, и растёт центробежная сила). Отсюда, можно сделать вывод, что от петли смятия нити не пойдёт, и можно будет пользоваться сохранением в этой точке и энергии, и импульса.

Правда, только что мне пришла в голову убийственная мысль. Я рассматривал петлю слишком упрощённо, а что если от неё по натянутым концам нити пойдут волны? Тогда они могут многое испортить, по крайней мере сохранение энергии.