эффект кнута

[Oleg Zubelevich]

[Dragon27]

Я правильно понимаю, что подразумевается, что произведение скорости и длины верхней движущейся части постоянно? Тогда это будет несложный диффур :)

[Hi4ko]

Как я понял, то сначала дали подвижной половине нити скорость $v_0$ и всё.
Т.е. импульс системы постоянный.
Можно взять импульс в начальный момент времени и в какой-нибудь произвольный момент, в который длина покоящейся части нити равна $x$
Пусть масса всей нити $M$
$\frac{Mv_0}{2} = \frac{M}{L}(L-x)v$

$\frac{M}{L}$ - линейная плотность нити.

$v = \frac{dx}{dt}$

$\frac{Mv_0}{2} = \frac{M}{L}(L-x)\frac{dx}{dt}$

Дальше, я думаю, сам проинтегрируешь обе части уравнения и ответишь на оба вопроса)

[dovlato]

Трения (надо, видимо, так понимать) нет, след-но, E=const:

$$xv^2=\frac{L}2 v_0^2$$ $$(x<L/2)$$

Если с трением f=const, то видимо так

$$\frac{f}{\rho}(L-2x)+xv^2=\frac{L}2 v_0^2$$

[Oleg Zubelevich]

Ну понятно, значит на олимпиадную эта задача не тянет. Всем спасибо.

[dovlato]

Моё кредо - любую задачу можно сделать олимпиадной, при желании. Вот здесь, например, возможны такие ходы: вокруг цилиндра наматывается нить с грузиком. И там, при достаточно большой начальной длине нити и скорости грузика - завершающие моменты сходны. Хотя бы как-то асимпт-ски.

[Oleg Zubelevich]

Вот я уже года два пытаюсь собирать нестандарные задачи по механике (олимпиадные, и вообще чтоб скучно на семинарах не было)-- результат почти нулевой. Создается впечатление, что формализм теормеха разработан настолько хорошо, что задача либо решается расписыванием стандартных теорем, либо либо эта задача сразу оказывается исследовательского уровня, причем уже не как задача по механике, а как задача дифференциальных уравнений.

[dovlato]

Да ну.. не верится. Я как-то, уже после того как чуть-чуть попубликовался в "Кванте" со своим задачами, лет 10 назад исторг из себя целый цикл: "Во поле магнитном гуляла..". О движении зарядов середь полей B и Е. Но после этого было у меня полное изнеможение и прострация.. Так что где-то этот цикл лежит у меня неопубликованный, а где - чёрт знает, это искать надо.
Кстати, я понял, как можно развить задачу с "кнутом" до вполне себе олимпиадной. Достаточно ослабить требование закрепления второго конца. Тут уже возможны варианты.. Скажем, сразу можно сказать - красиво будет смотреться задача, если второй конец прикреплён не к стенке - а к массе m. Здесь будет сохраняться уже не только полная энергия, но и импульс тоже. И решится в пределах школы.
Можно задаться неоднородной нитью - тоже решится во многих случаях.
Либо - задать некий закон f(t) движения этого конца.. но тут уже надо думать - каков должен быть этот закон, чтобы задача выглядела более-менее интересно. Ещё вариант - если на тот конец действует заданная сила F(t), или возможно, F(x) - но это всё требует предварительного анализа, в каких случаях решение не потребует ДУ.
Так что в принципе, тут пахать и пахать, было б желание.

[Oleg Zubelevich]

Вы меня , кажется, не так поняли. Я имею в виду не школьный олимпиадный уровень, а студенческий. Пусть дифуры будут, но они должны нетривиально составляться

[sup]

Могу предложить одну любопытную задачу "по механике" и без диффуров. Только не знаю насколько она известна. В любом случае студентам не должно быть скучно
Все одномерное. Трения нет, удары абсолютно упругие.
Имеется бесконечный гладкий стол (полуось $x>0$) и стенка ($x=0$). На столе два тела массы $m$ и $M$ ($M>m$). Тело с массой $m$ находится между стенкой и другим телом. Ну так вот, малому телу придают некую скорость в направлении большего. Дальше происходит следующее. Малое тело ударяет в большее, придает ему некую скорость, а само отражается, двигается к стенке, отражается от нее, догоняет (если сможет) большее тело, снова ударяет его и тд.
Вопрос: сколько всего произойдет ударов малого тела об большое?

[Oleg Zubelevich]

да, спасибо, я такие задачи даю студентам, это на лагранжеву теорию удара topic58739.html

[sup]

Данная задача интересна тем, что у нее есть очень симпатичное чисто геометрическое решение с замкнутым ответом.

[Oleg Zubelevich]

дык и я про тоже

[dovlato]

Задачу со стенкой и двумя телами можно решать как задачу с тремя телами. Крайние из них - одинаковы по массе, и по той скорости, которая останется у ударяющего тела после первого удара. Ну а третье, если оно достаточно лёгкое, некоторое время летает между ними.

[Oleg Zubelevich]

задача, которую предложил sup
эквивалентна задаче об абсолютно упругих ударах точки о стороны угла косинус которого равен $\frac{1}{\sqrt{1+m/M}}$. При этом траектория точки разворачивается в прямую с помощью метода отражений.
В частности, отсюда понятно, что соударений может быть только конечное количеситво