Tangens

[Keter]

Решить уравнение $| \tg x \tg 2x \tg 3x | + | \tg x + \tg 2x | = \tg 3x$ для всех $x \in (0; \pi]$.

Преведу своё решение, где использовал только тангенсы.

ОДЗ: $x \ne \dfrac{\pi}{2}; x \ne \dfrac{\pi}{4}; x \ne \dfrac{\pi}{6}$

$$\tg x \tg 2x \tg 3x = \tg x \cdot \dfrac{2 \tg x}{1-\tg^2 x} \cdot \dfrac{\tg x (3-\tg^2 x)}{1-3 \tg^2 x} = \dfrac{-2 \tg^3 x (\tg^2 x -3)}{3(\tg^2 x - \frac{1}{3})(\tg^2 x -1)}$$

$$f(x)=\dfrac{\tg^3 x (\tg^2 x -3)}{(\tg^2 x - \frac{1}{3})(\tg^2 x -1)}$$

$f(x) \le 0: \quad \tg x \in [-\sqrt3; -1) \cup (-\frac{\sqrt3}{3}; 0] \cup (\frac{\sqrt3}{3}; 1) \cup [\sqrt3; + \infty)$ $\Rightarrow x \in \bigg( \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{4} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{2 \pi}{3}; \dfrac{3 \pi}{4} \bigg) \cup \bigg( \dfrac{5 \pi}{6}; \pi \bigg]$

$$\tg x + \tg 2x = \tg x + \dfrac{2 \tg x}{1-\tg^2 x} = \dfrac{\tg x (\tg^2 x - 3)}{\tg^2 x -1}$$

$$g(x)=\dfrac{\tg x (\tg^2 x - 3)}{\tg^2 x -1}$$

$g(x) \ge 0: \quad \tg x \in [-\sqrt3; -1) \cup [0; 1) \cup [\sqrt3; + \infty)$ $\Rightarrow x \in \bigg( 0; \dfrac{\pi}{4} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{2 \pi}{3}; \dfrac{3 \pi}{4} \bigg)$

Можно ли что-то вроде этой картинки сделать с помощью TeX, жаль хостинг этих картинок не бесконечен.

$$\bigg| \dfrac{-2}{3} \bigg| \cdot |f(x)|+|g(x)|=\tg 3x$$

1) $x \in \bigg( 0; \dfrac{\pi}{6} \bigg) \quad f(x)>0; g(x)>0$ $: \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dfrac{-2 \tg^3 x (\tg^2 x -3)}{3(\tg^2 x - \frac{1}{3})(\tg^2 x -1)}+\dfrac{\tg x (\tg^2 x - 3)}{\tg^2 x -1}-\dfrac{\tg x (3-\tg^2 x)}{1-3 \tg^2 x}$ $=0$

$$\tg x (\tg^2 x -3) \bigg( \dfrac{-2 \tg^2 x +3 \tg^2 x -1- \tg^2 x + 1}{(3 \tg^2 x -1)(\tg^2 x -1)} \bigg)=0$$

$$x \in \bigg( 0; \dfrac{\pi}{6} \bigg)$$

2) $x \in \bigg( \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{4} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \bigg) \cup \bigg[ \dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{3\pi}{4} \bigg) \quad f(x) \le 0; g(x) \ge 0$ $: \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dfrac{4 \tg^3 x (\tg^2 x -3)}{(\tg^2 x -1)(3 \tg^2 x -1)}=0$

$$x=\dfrac{\pi}{3}; \quad x=\dfrac{2 \pi}{3}$$

3) $x \in \bigg( \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{3} \bigg) \cup \bigg( \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{2\pi}{3} \bigg) \cup \bigg( \dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{6} \bigg) \quad f(x)>0; g(x)<0$ $: \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dfrac{\tg x (\tg^2 x -3)}{\tg^2 x -1}=0 \quad$ - нет решений на рассматриваемом промежутке


4) $x \in \bigg( \dfrac{5\pi}{6}; \pi \bigg] \quad f(x) \le 0; g(x) \le 0$ $: \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dfrac{\tg x (\tg^2 x -3)}{3 \tg^2 x -1)}=0$

$$x=\pi$$

Итак, для всех $x \in (0; \pi]$ уравнение $| \tg x \tg 2x \tg 3x | + | \tg x + \tg 2x | = \tg 3x$ имеет решения $x \in \bigg( 0; \dfrac{\pi}{6} \bigg) \cup \{ \dfrac{\pi}{3} \}\cup \{ \dfrac{2 \pi}{3} \} \cup \{ \pi \}$ (Как поставить большие фигурные скобки?)

[Shtorm]

Keter в сообщении #595007 писал(а):

Ответ дается: $0<x<\frac{\pi}{6};...... $

То есть в этом интервале получается бесконечное множество решений?

[Keter]

Shtorm, я сам не знаю, что это значит, но ответ ровно такой, сейчас ссылку поищу на задание. У меня проблема с методом решения возникла. Ну выяснил интервалы, и что? Как его решить, если нет этих палок (модулей)?

[Keter]

http://ucheba.pro/viewtopic.php?f=17&t= ... t=1&pc=241

Там девятое задание.

[Shtorm]

Keter, так там же по той ссылке, которую Вы дали, в комментариях выложены почти все решения! Некая трудолюбивая девушка с ником anarch, сканировала свою тетрадь и выкладывала один за другим файлы. Это 9-ое задание там выложено на второй странице комментариев....
Или Вы специально в него не заглядывали, отдавая предпочтение форумским подсказкам?

[svv]

Или девушкам не доверяете?

[Keter]

Я никому не доверяю А на форуме по идеи должно найтись более красивое решение

-- 13.07.2012, 23:32 --

Там опечатка У меня $\tg^2 x$, а у них $\tg 2x$
Или у меня опечатка(((((

[Shtorm]

Keter в сообщении #595073 писал(а):

Там опечатка У меня $\tg^2 x$, а у них $\tg 2x$
Или у меня опечатка(((((

У Вас.

http://ucheba.pro/download/file.php?id=2478

[Keter]

Ясно, что у меня(( Теперь я его решать не хочу(( Может модераторов тему попросить удалить?

[Shtorm]

Не надо. Может кому-то будет интересно прорешать оба варианта, не заглядывая в готовые решения. Просто может перенести в другой раздел.

[AKM]

PAV в сообщении #171140 писал(а):

Вот несколько примеров неправильного использования. За любой из них ваша тема может оказаться в карантине.

Пример неправильного использования: весь текст заключен в тег math. Тегом должны быть охвачены только формулы...

Keter,

я не знаю, откуда Вы взяли эту странную (нечеловеческую) манеру записи формул и особенно текста, но она неприемлема ни в статьях-дипломах, ни на форуме.
Тема переносится в Карантин. Ремонтировать не обязательно: можно оставить её там помирать.

Возвращено

[Keter]

У функции $f(x)$ знаки везде нужно поменять на противоположные и соответственно рисунок должен быть другой.

[svv]

Keter

(Оффтоп)

На всякий случай: но Вы знаете, что по-английски "тангенс" заканчивается на t: tangent?

[Keter]

svv

(Оффтоп)

спасибо, а множественное тогда tangents что-ли?

[svv]

(Оффтоп)

Ага.

Цитата:

The three theorems for the intercepted arcs to the angle of two tangents, two secants or 1 tangent and 1 secant are summarized by the pictures below.

(http://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/tangents-secants-arcs-angles.php)

Разница между русским тангенс и английским tangent оттого, что русский язык воспринял именительный падеж латинского слова tangens "касающийся", а формы, употребляющиеся в западноевропейских языках, происходят от винительного падежа этого же латинского слова — tangentem (причём уже в классический период m на конце не произносилось, e сохранили итальянский, испанский, португальский).