Задача [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, друзья!

Доказать, что если натуральное число $m$ не является точным квадратом, то найдется такое натуральное $n$, что $m=\lfloor{n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}}\rfloor$

Не знаю вообще с чего даже начать.
Помогите пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

Скорее всего так: надо доказать, что правая часть не убывает + посмотрите, как может расти правая часть при увеличении $n$ на $1$.
Можете для начала мысленно построить график $f(n)=[\sqrt{n}]$ - он прост и ясен.
(вообще, строить графики функции полезно)

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #594103 писал(а):

Скорее всего так: надо доказать, что правая часть не убывает + посмотрите, как может расти правая часть при увеличении $n$ на $1$.
Можете для начала мысленно построить график $f(n)=[\sqrt{n}]$ - он прост и ясен.
(вообще, строить графики функции полезно)

1) Так как $n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}<n+1+\sqrt{n+1}+\frac{1}{2}=n+\sqrt{n+1}+\frac{3}{2}$, то $\lfloor{n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}}\rfloor\leqslant \lfloor{n+\sqrt{n+1}+\frac{3}{2}}\rfloor$ по той причине, что $\lfloor{}\rfloor$ - неубывающая функция.
2) Я еще заметил и доказал следующий красивый факт:
При $k=n^2+n+1$ верно следующее: $f(k)-f(k-1)=2$, где $f(k)=\lfloor{k+\sqrt{k}+\frac{1}{2}}\rfloor$
При $k\neq n^2+n+1$ верно следующее: $f(k)-f(k-1)=1$, где $f(k)=\lfloor{k+\sqrt{k}+\frac{1}{2}}\rfloor$
3) График функции $f(x)=\lfloor{\sqrt{x}}\rfloor$ я нарисовал. Фунция будет постоянной на $k^2\leqslant x<(k+1)^2$, где $k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$

[Sonic86]

А, ну вот теперь попробуйте посмотреть, чему равно $f(k)$ при $k=n^2+n+1$ и чему оно равно при прочих значениях $k$. Попробуйте найти, чему $f(k)$ не может быть равно.
Или так начните: при росте $k$ на $1$, $f(k)$ увеличивается либо на $1$, либо на $2$. Значит $f(k)$ не может быть равно всем тем значениям, которые . . .
Кстати, $[k+\sqrt{k}+\frac{1}{2}]=k+[\sqrt{k}+\frac{1}{2}]$, поскольку $k$ - целое.

[Whitaker]

Сделал то, что Вы указали и получил следующее:
$f(k) = \begin{cases} n^2+2n+2, & \text{if }k=n^2+n+1 \\ k+n+1, & \text{if }k\in [n^2+n+2, n^2+3n+2] \end{cases}$

Можно сказать, что $f(k)$ никогда не равен квадрату.

[Sonic86]

Ну вот возьмите теперь значения функции в точках обрыва отрезков, на которых она задается: $k=n^2+n;n^2+n+1;n^2+n+2$. Посмотрите на значения.

[Whitaker]

Sonic86
$f(n^2+n+1)=n^2+2n+2$
$f(n^2+n+2)=n^2+2n+3$
$f(n^2+n)=n^2+2n$

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #594475 писал(а):

$f(n^2+n+1)=n^2+2n+2$
$f(n^2+n+2)=n^2+2n+3$
$f(n^2+n)=n^2+2n$

Какое значение здесь пропущено? Т.е. значения функции - последовательные натуральные числа, исключая одно пропущенное.

[Whitaker]

Пропущен $n^2+2n+1=(n+1)^2$

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #594481 писал(а):

Пропущен $n^2+2n+1=(n+1)^2$

Вот т.е. пропущен квадрат. И так для всех $n$.