Определить характеристики случайного процесса

[Sverest]

Определить характеристики случайного процесса $X(t)$

$\begin{tabular}{ccccc} V & $-5$&$0$&$5$&$10$ \\ \hline p & $0.6$ &$0.1$&$0.2$ &$0.1$ \\ \end{tabular}$

$X(t)=(V e^{-t} +1)^2$

Математическое ожидание узнал: http://dxdy.ru/topic56626.html
почему то, продолжать в той теме не могу
$30 e^{-2t}-2 e^{-t}+1$

Как теперь найти центрированный случайный процесс?

В методичке написано: $X^{\circ}(t)=X(t)-m_x(t)$

то есть вот так надо:
$(-5e^{-t}+1)^2-30 e^{-2t}-2 e^{-t}+1$
или там не надо $-5 $ подставлять?

[profrotter]

Посмотрите на результат, который Вы получили и ответьте на вопрос: получился ли вообще случайный процесс?

[Sverest]

profrotter в сообщении #587581 писал(а):

Посмотрите на результат, который Вы получили и ответьте на вопрос: получился ли вообще случайный процесс?

я просто не совсем понимаю, что такое случайный процесс

-- Чт июн 21, 2012 15:02:45 --

Я правильно понял, что будет вот так:
$(V e^{-t} +1)^2-(30 e^{-2t}-2 e^{-t}+1)$

-- Чт июн 21, 2012 15:30:50 --

Для дисперсии будет такая формула?

$((-5 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.6 +(0 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.1 +(5 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.2 +(10 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.1)-(30 e^{-2t}-2 e^{-t}+1)^2 $

[profrotter]

Sverest в сообщении #587583 писал(а):

я просто не совсем понимаю, что такое случайный процесс

Случайный процесс рассматривается как совокупность своих реализаций. В каждом конкретном опыте с участием случайного процесса будет фигурировать одна из его реализаций. Реализация случайного процесса представляет собою детерминированную функцию. Например в вашем случае случайный процесс $X(t)=\left\{x_n(t)\right\}_{n=1}^4$ имеет четыре реализации:

$$x_1(t)=(-5e^{-t}+1)^2$$

$$x_2(t)=(0e^{-t}+1)^2$$

$$x_3(t)=(5e^{-t}+1)^2$$

$$x_4(t)=(10e^{-t}+1)^2$$

В каждый фиксированный момент времени случайный процесс может рассматриваться как случайная величина.

Sverest в сообщении #587583 писал(а):

Я правильно понял, что будет вот так:

Похоже. (Если, конечно, мат. ожидание найдено верно.)

Sverest в сообщении #587583 писал(а):

Для дисперсии будет такая формула?

Можно, коль скоро это $M\{X^2(t)\}-M^2\{X(t)\}$.

[Sverest]

Корреляционная функция - это тоже характеристика случайного процесса?

В методичке формула $K_x (t_1, t_2)= M[X^{\circ}(t_1)X^{\circ}(t_2)]$

Здесь $t_1=-5$ и $t_2=0$ ?

[profrotter]

Sverest в сообщении #587605 писал(а):

В методичке формула $K_x (t_1, t_2)= M[X^{\circ}(t_1)X^{\circ}(t_2)]$ Здесь $t_1=-5$ и $t_2=0$ ?

Нет. $t_1$ и $t_2$ - это аргументы корреляционной функции. Они независимые переменные и не принимают никаких навсегда зафиксированных значений.

[Sverest]

profrotter в сообщении #587630 писал(а):

Sverest в сообщении #587605 писал(а):

В методичке формула $K_x (t_1, t_2)= M[X^{\circ}(t_1)X^{\circ}(t_2)]$ Здесь $t_1=-5$ и $t_2=0$ ?

Нет. $t_1$ и $t_2$ - это аргументы корреляционной функции. Они независимые переменные и не принимают никаких навсегда зафиксированных значений.

Тогда в формуле, так их и оставить, ничего вместо них не надо подставлять?

[profrotter]

Да.

[Sverest]

среднее квадратичное отклонение

$\sqrt{((-5 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.6 +(0 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.1 +(5 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.2 +(10 e^{-t}+1)^4 \cdot 0.1)-(30 e^{-2t}-2 e^{-t}+1)^2}$

корреляционная функция

$K_x(t_1,t_2)= \\ M[((V e^{-t_1} +1)^2-(30 e^{-2t_1}-2 e^{-t_1}+1))((V e^{-t_2} +1)^2-(30 e^{-2t_2}-2 e^{-t_2}+1))]= \\ (((-5 e^{-t_1} +1)^2-(30 e^{-2t_1}-2 e^{-t_1}+1))((-5 e^{-t_2} +1)^2-(30 e^{-2t_2}-2 e^{-t_2}+1))0.6)+ \\ (((0 e^{-t_1} +1)^2-(30 e^{-2t_1}-2 e^{-t_1}+1))((0 e^{-t_2} +1)^2-(30 e^{-2t_2}-2 e^{-t_2}+1))0.1)+ \\ (((5 e^{-t_1} +1)^2-(30 e^{-2t_1}-2 e^{-t_1}+1))((5 e^{-t_2} +1)^2-(30 e^{-2t_2}-2 e^{-t_2}+1))0.2)+ \\ (((10 e^{-t_1} +1)^2-(30 e^{-2t_1}-2 e^{-t_1}+1))((10 e^{-t_2} +1)^2-(30 e^{-2t_2}-2 e^{-t_2}+1))0.1)$

так?

[Sverest]

в первом слагаемом корреляционной функции получилось:

$15 e^{-2t_1-2t_2}+24e^{-2t_1-t_2}+24e^{-t_1-2t_2}+38.4e^{-t_1-t_2}$

это выражение упростить больше нельзя? Так и оставлять?

[profrotter]

Sverest в сообщении #587673 писал(а):

так?

Нет. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий только в случае, когда эти величины независимы. Зато у мат. ожидания есть свойство линейности, которое позволяет сделать следующие преобразования:

$$K(t_1,t_2)=M\{(X(t_1)-m_X(t_1))(X(t_2)-m_X(t_2))\}=$$

$$=M\{X(t_1)X(t_2)-X(t_1)m_X(t_2)-m_X(t_1)X(t_2)+m_X(t_1)m_X(t_2)\}=$$

$$=M\{X(t_1)X(t_2)\}-M\{X(t_1)\}m_X(t_2)-m_X(t_1)M\{X(t_2)\}+m_X(t_1)m_X(t_2)=$$

$$=M\{X(t_1)X(t_2)\}-m_X(t_1)m_X(t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)+m_X(t_1)m_X(t_2)=$$

$$=M\{X(t_1)X(t_2)\}+m_X(t_1)m_X(t_2)$$

где $m_X(t)=M\{X(t)\}$ - уже найдено. Теперь

$$M\{X(t_1)X(t_2)\}=M\{(Ve^{-t_1}+1)^2(Ve^{-t_2}+1)^2\}=$$

$$=M\{(V^2e^{-2t_1}+1+2Ve^{-t_1})(V^2e^{-2t_2}+1+2Ve^{-t_2})\}=...$$

Дальше скобки под знаком мат. ожидания перемножить, после чего снова воспользоваться свойством линейности мат. ожидания. Результат будет выражен через мат. ожидания величин $V,V^2,V^3, V^4$ (они же степенные моменты), которые находить Вы умеете.

[Sverest]

Перемножил выражение в скобках

$$V^4 e^{-2t_1-2t_2}+V^2e^{-2t_1}+2V^3 e^{-2t_1-t_2}+V^2e^{-2t_2}+1+2Ve^{-t_2}+2V^3 e^{-t_1-2t_2}+2Ve^{-t_1}+4Ve^{-t_1-t_2}$$

не могу понять как здесь воспользоваться свойством линейности мат. ожидания

[profrotter]

Ну коль скоро математическое ожидание суммы двух процессов есть сумма их математических ожиданий и детерминированную функцию можно выносить из под знака мат. ожидания:

$$M\{V^4 e^{-2t_1-2t_2}+V^2e^{-2t_1}+2V^3 e^{-2t_1-t_2}+V^2e^{-2t_2}+1+2Ve^{-t_2}+2V^3 e^{-t_1-2t_2}+2Ve^{-t_1}+4Ve^{-t_1-t_2}\}=$$

$$=M\{V^4 e^{-2t_1-2t_2}+2V^3(e^{-2t_1-t_2}+e^{-t_1-2t_2})+V^2(e^{-2t_1}+e^{-2t_2})+2V(e^{-t_2}+e^{-t_1}+2e^{-t_1-t_2})+1\}=$$

$$=M\{V^4\}e^{-2t_1-2t_2}+2M\{V^3\}(e^{-2t_1-t_2}+e^{-t_1-2t_2})+M\{V^2\}(e^{-2t_1}+e^{-2t_2})+2M\{V\}(e^{-t_2}+e^{-t_1}+2e^{-t_1-t_2})+1\}$$

[Sverest]

А теперь надо просто вот так подставить:

$M\{V\}=-5 \cdot 0.6+0+ 5\cdot 0.2+10\cdot 0.1$

$M\{V^2\}=-5^2 \cdot 0.6+0+ 5^2\cdot 0.2+10^2\cdot 0.1$

$M\{V^2\}=-5^3\cdot 0.6+0+ 5^3\cdot 0.2+10^3\cdot 0.1$

$M\{V^2\}=-5^3 \cdot 0.6+0+ 5^3\cdot 0.2+10^3\cdot 0.1$

Большое спасибо!

[profrotter]

$$M\{V^2\}=(-5)^2 \cdot 0.6+0+ 5^2\cdot 0.2+10^2\cdot 0.1$$

И остальные проверьте.