2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 15:09 
Аватара пользователя
Прочла в "Математическом Словаре Высшей Школы" следующее определение множества, измеримого по Жордану:

Математический Словарь Высшей Школы писал(а):
Множество $G\subset {R^n}$ называют кубируемым или измеримым в смысле Жордана, если $$\sup{\{\text{об. P}\}}=\inf{\{\text{об. Q}\}},$$ где $\quad\text{об. P},\quad \text{об. Q}$ - соответственно объёмы многогранников $P$, вложенных в множество $G$ (т. е. $P\subset G$), и многогранников $Q$, охватывающих $G$ (т. е. $G\subset Q$).


Из всех определений множества, измеримого по Жордану, с коими я встречалась, это - единственное, которое я смогла более или менее понять.

Вопрос у меня такой (вернее, просьба):
Можно ли как-нибудь "на пальцах" объяснить поподробнее и с примерами?
Скажем, если я правильно поняла, обычный шар в $R^3$ будет измеримым по Жордану, так как биргетит верхняя граница объёма вложенного в этот шар многогранника равна объёму шара, а нижняя граница объёма охватывающего этот шар многогранника - тоже.


Заранее благодарна!

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 16:06 
Ktina в сообщении #587300 писал(а):
Можно ли как-нибудь "на пальцах" объяснить поподробнее и с примерами?

Пальцы не вполне многогранные, так что на них непросто. А в принципе всё очень просто. Множество измеримо, если в него можно вписать многогранник и около него описать многогранник же так, чтобы эти два многогранника отличались по объёму сколь угодно мало.

С примерами же -- опять всё очень непросто (или, что то же самое, очень просто): любая область, которая может встретиться в реальной жизни, измерима.

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 16:09 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #587317 писал(а):
...любая область, которая может встретиться в реальной жизни, измерима.

И даже двусвязная?

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 16:17 
Ktina в сообщении #587319 писал(а):
И даже двусвязная?

даже тридцатисемисвязная

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 16:21 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #587327 писал(а):
Ktina в сообщении #587319 писал(а):
И даже двусвязная?

даже тридцатисемисвязная

Тогда я не совсем поняла.
Как можно квадратировать вот такую катринку? http://mtkurs.ru/funkp/komper66.htm

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 16:57 
А как этот словарь определяет многогранник?

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение20.06.2012, 17:16 
Аватара пользователя
Sender в сообщении #587342 писал(а):
А как этот словарь определяет многогранник?

Многогранник в $R^n$ - множество $P$, которое можно разбить на конечное число симплексов.

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение21.06.2012, 09:15 
Ну вот и прекрасно. Берёте и мостите вашу область треугольниками, в чём сложность? Из маленьких треугольничков можно составить мозаику, сколь угодно близкую к этой области.

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение21.06.2012, 11:41 
Аватара пользователя
Ktina, Вы под двусвязной областью понимали такую, как на рисунке а) ?
Изображение
Двусвязная -- это как на рисунке б), а область на рисунке а) -- несвязная.
Впрочем, кубируема и та и другая.

Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами, и даже только со стороной $2^{k}, \; k\in\mathbb Z$.
В двумерном случае -- рисуете область на листе в клеточку. Те клеточки, которые полностью принадлежат области, закрашиваете красным. Те клеточки, которые полностью не принадлежат, закрашиваете синим. Остальные делите на четыре меньших клеточки. Из меньших некоторые будут красными, некоторые синими, некоторые опять придется разделить. И так далее.
Изображение
Если площадь незакрашенной области стремится к нулю, Ваша исходная область измерима.

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение21.06.2012, 12:10 
svv в сообщении #587549 писал(а):
Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами, и даже только со стороной $2^{-n}$.


Это же всё-таки разные $n$, может, одно из них было бы лучше обозначить по-другому?

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение21.06.2012, 12:15 
Аватара пользователя
Да, Вы правы, спасибо. Исправил.
Заодно и убрал совершенно ненужный "минус". $k\in \mathbb Z$.

 
 
 
 Re: Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"
Сообщение21.06.2012, 21:12 
svv в сообщении #587549 писал(а):
Впрочем, кубируема и та и другая.

Ни одна из них ни разу не "кубируема" а всего лишь "квадратируема". Впрочем, это всё семечки, а что и впрямь существенно -- так это другое:

svv в сообщении #587549 писал(а):
Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами

Это и впрямь (методически) лучше; хотя -- с какой стороны поглядеть. С одной стороны, замена многогранников на "кусочно-прямоугольные области" резко упрощает общую схему. С другой -- схема становится неинвариантной относительно поворотов, и за эту инвариантность ещё придётся побороться. Ну тут уж объективных критериев нет и быть не может: "кому по душе арбузы, а кому -- свиной хрящик" (с).

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group