предел синуса факториала

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #585519 писал(а):

А просто берём и тупо вычисляем $ \sin{n!}$. Я проверил вплоть до $n=18$. Видно, что синус осциллирует, то есть колеблется - а следовательно предела не существует.

Не следовательно. $\sin\frac{1000}x$ вон тоже туда-сюда поначалу, а на бесконечностях пределы есть!

[Joker_vD]

Вся беда с пределами в том, что первые 18 значений не играют совершенно никакой роли.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #585531 писал(а):

Shtorm в сообщении #585519 писал(а):

А просто берём и тупо вычисляем $ \sin{n!}$. Я проверил вплоть до $n=18$. Видно, что синус осциллирует, то есть колеблется - а следовательно предела не существует.

Не следовательно. $\sin\frac{1000}x$ вон тоже туда-сюда поначалу, а на бесконечностях пределы есть!

Ваша правда. Ну следовательно нужно взять $n$ как можно больше и снова проверить.

[worm2]

А что, если здесь угол измеряется в градусах?

[Shtorm]

worm2 в сообщении #585539 писал(а):

А что, если здесь угол измеряется в градусах?

Я тоже про это думал, но отбросил эту мысль, как несоответствующую стандартному подходу в таких задачах. И потом, извлекать корень из градусов? Какая там размерность получится?

[nnosipov]

worm2 в сообщении #585539 писал(а):

А что, если здесь угол измеряется в градусах?

Это слишком сложно Скорее в знаменателе не $n$, а $n^2$ --- это более соответствует стилю остальных задач.

[muzeum]

Очевидно, что синус от n! стремится к нулю. А вот сравнить это стремление со степенью n трудновато.
Чепуха, сказал глупость, извиняюсь.

[Shtorm]

muzeum в сообщении #585595 писал(а):

Очевидно, что синус от n! стремится к нулю. А вот сравнить это стремление со степенью n трудновато.
Чепуха, сказал глупость, извиняюсь.

Глупость в чём? В том, что стремится к нулю?

Ну, а вот так мы можем рассуждать:

$\lim \limits_{n \to +\infty} \sin(n!)=\sin (\lim \limits_{n \to +\infty} (n!)) = \sin (+\infty)$

Следовательно, значение синуса колеблется между -1 и 1, а следовательно предел не существует

[ИСН]

А, например, $\lim\limits_{n\to\infty}\sin(\pi n)=\sin\left(\lim\limits_{n\to\infty} (\pi n)\right) = \sin(\infty)$, следовательно... Постойте!

[Shtorm]

ИСН, в том-то и дело, что в аргументе синуса нет $\pi$ и аргумент принимает только целочисленные значения и следовательно синус ни при каких значениях не принимает значение 0.

Но даже, если бы было как Вы написали, то есть такой вот предел без факториала всякого - то синус принимает значения из диапазона от -1 до 1 и следовательно предела не существует.

[ИСН]

Очень хорошо. $\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2\pi n+0.01)$ (тоже ни при каких n не равен 0) $=\sin\left(\lim\limits_{n\to\infty} (2\pi n+0.01)\right) = \sin(\infty)$, следовательно... Э?

-- Сб, 2012-06-16, 02:51 --

Shtorm в сообщении #585606 писал(а):

Но даже, если бы было как Вы написали, то есть такой вот предел без факториала всякого - то синус принимает значения из диапазона от -1 до 1 и следовательно предела не существует.

Это новость в мире пределов. У последовательности 0,0,0... предела не существует?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #585607 писал(а):

Очень хорошо. $\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2\pi n+0.01)$ (тоже ни при каких n не равен 0) $=\sin\left(\lim\limits_{n\to\infty} (2\pi n+0.01)\right) = \sin(\infty)$, следовательно... Э?

Наверное следует сделать сразу оговорку, что n- целые числа? Или мы ведём рассуждение уже для всех $n$? Если $n$ целое, то синус будет принимать всегда одно и то же конечное значение. Но что это доказывает в плане исходного предела?

ИСН в сообщении #585607 писал(а):

Это новость в мире пределов. У последовательности 0,0,0... предела не существует?

Существует и равен 0. Просто, поскольку Вы нигде факториала не написали в примере - я и стал рассуждать, что n - любые числа, а не только целые.
Кстати вычислял сейчас $\sin(100!), \sin(101!), \sin(102!)$. По прежнему сильно прыгает.

[ИСН]

У меня везде n целые. Теперь как получается, что рассуждение аналогично Вашему, а предел почему-то существует?

[Shtorm]

Это потому так получается, что $2\pi n+0.01$ не равно $n!$

Пользуясь Вашим методом рассуждения возьмём $2\pi n+0.01\cdot n$ и подставим в аргумент синуса. И что получим? Плавающие значения.

[Sonic86]

Shtorm, а найдите тогда $\lim\limits_{n\to +\infty}n \sin (2\pi e n!)$ своими рассуждениями. Обратите внимание, что $\frac{2\pi e n!}{\pi}$ - нецелое число.