[Вроде бы] простая задача по теорверу, но решить не могу :(

[DTF]

В урне лежат $10$ белых и $10$ черных шаров.
Из урны достают $k$ шаров. Какова вероятность того, что количество черных шаров четно?
И бонус-вопрос, какова вероятность того, что количество черных шаров равно какому-то конкретному числу $n$?


Не понимаю, как решать эту задачу, приходят на ум только переборные варианты для маленьких значений k и количеств шаров в урнах....

[ИСН]

Чем плохи переборные варианты? Тем, что они годятся только для маленьких k? Так у Вас все возможные k - маленькие.

[DTF]

А если в урне 100 белых и 100 черных шаров?
Разве тут нет общего решения?

[ИСН]

Тогда так и рассказывайте: $n$ - нет, это мало - $N$ белых и $N$ чёрных. А то 10, подумаешь.
По сути так. Вот мы вытащили $k$ шаров. А сколько из них может быть белых? От скольки до скольки? Какое распределение имеет эта случайная величина?

[DTF]

Белых может быть от $0$ до $k$ (или до $N$, если $k > N$).
А распределение - все выборки равновероятны (я прав?),
поэтому все количества белых шаров выпадут с одинаковой вероятностью ($1/2$?)

[arseniiv]

DTF в сообщении #586051 писал(а):

И бонус-вопрос, какова вероятность того, что количество черных шаров равно какому-то конкретному числу n?

Предлагаю сделать этот вопрос главным, а ответ на первый выражать через ответ на этот.

Если решать «чисто комбинаторным» способом, самое неясное, что надо найти — сколько всего последовательностей из $N$ белых и $N$ чёрных шаров таких, что среди первых $k$ шаров $n$ чёрных. Ну и выберите в два этапа. Сначала сосчитайте количество последовательностей из $k$ шаров, где $n$ чёрных. Потом сосчитайте, сколько последовательностей-остатков. И…

[DTF]

arseniiv в сообщении #586078 писал(а):

Предлагаю сделать этот вопрос главным, а ответ на первый выражать через ответ на этот.

Пришло на ум вот такое решение вопроса:
вытащим все шары из урны и расположим в ряд, сначала белые, потом черные:
бб...бббчч....чч
вообразим, что по этому ряду мы двигаем рамку длиной k. т.е. при каждом положении рамки через нее будет видно ровно k шаров. Каждому положению рамки соответствует исход вытаскивания k шаров из урны. т.е. исходов столько же, сколько вариантов расположегия рамки (т.е. $2N-k+1$). Тогда, вроде, понятно, как посчитать количество различных исходов.

Например, при $k = N$ у нас будет $N + 1$ исходов, количество черных шаров будет изменяться от 0 до N.

Т.е. в случае $k = N$ получаем, что вероятность конкретного количества белых шаров равна $\frac{1}{N+1}$.

Я правильно рассуждаю?

arseniiv в сообщении #586078 писал(а):

Сначала сосчитайте количество последовательностей из $k$ шаров, где $n$ чёрных.

$C_k^n$?

arseniiv в сообщении #586078 писал(а):

Потом сосчитайте, сколько последовательностей-остатков

вот эту мысль не понял... вы не могли бы переформулировать?

[alexo2]

Если принять что 0 - четное, то Bероятность четности черных шаров 0,5 (два равнозначных по вероятности события - либо четно, либо нет).


То есть, если не принимать, что 0 - четное, то сначала подсчитать вероятность, что в вынутых шарах окажутся черные (это просто), и ополовинить полученную вероятность.. Имхо

[arseniiv]

alexo2 в сообщении #586104 писал(а):

вот эту мысль не понял... вы не могли бы переформулировать?

Оставшиеся шары тоже повытаскиваем.

[venco]

alexo2 в сообщении #586104 писал(а):

если не принимать, что 0 - четное

Это как?

[Shadow]

alexo2 в сообщении #586104 писал(а):

Bероятность четности черных шаров 0,5

0.5 будет толко при нечетных к (при нечетной выборке): Т.к выборка нечетная, то черных будет четное, а белых нечетное....либо черных нечетное, а белых четное. Равновероятность этих событий очевидна. А вот при четой выборке не так все просто, мне кажется, что вероятность никогда не будет 0.5

[alexo2]

venco в сообщении #586125 писал(а):

alexo2 в сообщении #586104 писал(а):

если не принимать, что 0 - четное

Это как?

Я имею в виду, что если в выборке черных шаров вообще нет (0), то считается, что необходимое событие не наступило (ну, или количество черных шаров нечетно, что одно и то же по условиям задачи).

[DTF]

Осознал, что у каждого из вытащенных шаров шанс быть черным $p = \frac{N}{2N} = \frac{1}{2}$

Отсюда вероятность того, что ровно n шаров черные, равна $p^n(1-p)^{k-n} = (\frac{1}{2})^k$

Отсюда можем найти и ответ на вопрос задачи. Я правильно рассуждаю?

[venco]

alexo2 в сообщении #586170 писал(а):

Я имею в виду, что если в выборке черных шаров вообще нет (0), то считается, что необходимое событие не наступило (ну, или количество черных шаров нечетно, что одно и то же по условиям задачи).

Это в какой арифметике 0 - нечётное число?

[--mS--]

DTF в сообщении #586175 писал(а):

Осознал, что у каждого из вытащенных шаров шанс быть черным $p = \frac{N}{2N} = \frac{1}{2}$

Отсюда вероятность того, что ровно n шаров черные, равна $p^n(1-p)^{k-n} = (\frac{1}{2})^k$

Разве каждый шар возвращается в урну?