Функан. Непрерывность, норма оператора. Сопряженный оператор

[oksanabm]

Здравствуйте. Проблема в том, что совсем не могу вкурить, как находить норму оператора. Понятно, что нужно использовать норму элемента из определенного пространства. Но не знаю, с чего же начать. Вот к примеру есть оператор $Ax(t)=x(t^n)$ в пространстве $C[0,1]$
1. Нужно доказать его непрерывность. То есть как я поняла, нужно найти, чем он ограничен, тогда он будет непрерывен. Так?
2. Норма оператора
3. Сопряженный оператор. Догадалась лишь до строчки $(x(t^n),y(t))$..
Помогите, пожалуйста, разобраться, у кого есть свободное время.

[мат-ламер]

Начните со второго вопроса. Он не сложен. Неужели нет никаких идей? Третий вопрос меня смущает. Что там за круглые скобочки у Вас (наружные)?

[oksanabm]

Ну что касаемо нормы данного оператора нет идей. Когда дана была последовательность например $(x1+x2,x2+x3,x3+x4,..)$ было понятно как решать.
Скобочки поставила так как скалярное произведение. Нужно отталкиваться от скалярного произведения в пространстве $L2$ ?

[мат-ламер]

oksanabm в сообщении #582537 писал(а):

Скобочки поставила так как скалярное произведение. Нужно отталкиваться от скалярного произведения в пространстве $L2$ ?

А какое отношение имеет это пространство к нашей задаче? У нас совсем другое пространство.
Что касается второго пункта. Возьмите любой элемент нашего простанства (если хотите - можете взять элемент с единичной нормой). Теперь подействуем на этот элемент нашим оператором. Получим новый элемент. Какой он будет - вычислить сложно (хотя можно) - и не надо вычислять. Но какова будет его норма? Попробуйте оценить. Это элементарно.

[oksanabm]

Ошиблась. Хотела C пространство написать.

[мат-ламер]

oksanabm в сообщении #582619 писал(а):

Ошиблась. Хотела C пространство написать.

А какое может быть в $C[a,b]$ скалярное произведение?

[oksanabm]

Ну ладно, спасибо за помощь.

[ewert]

oksanabm в сообщении #582537 писал(а):

Ну что касаемо нормы данного оператора нет идей.

Возьмите любую непрерывную функцию. Что произойдёт с её равномерной нормой после данного преобразования (вообще после любой замены переменной, отображающей единичный отрезок на себя)?

oksanabm в сообщении #582537 писал(а):

Скобочки поставила так как скалярное произведение. Нужно отталкиваться от скалярного произведения в пространстве $L2$ ?

Это не скалярное произведение, а функционал. Тем не менее: описывается он тоже как некоторый интеграл, только...

В общем, вспомните, пространство каких функций является сопряжённым к пространству непрерывных функций (и в каком смысле) и сделайте в том интеграле тривиальную замену $t^n=s$