Метод мат. индукции

[liber]

Доказать, что $S(n) = 2^{2n-1}+3n+4 $ делится на $9$.

База проходит, а как действовать дальше не понятно.

$S(n+1)-S(n)=3(2^{2n-1})+3$.

[Sonic86]

liber в сообщении #579055 писал(а):

$S(n+1)-S(n)=3(2^{2n-1})+3$.

Когда правая часть делится на $9$?

[gris]

Вынести за скобку тройку и по индукции же доказать, что выражение в скобках делится на 3.
Может быть и проще можно. Используйте предположение индукции. Плюс-минус.

[Maslov]

Еще можно представить $2^{2n-1}$ как $(3-1)^{2n-1}$ и подумать, какой остаток это выражение дает при делении на 3.

[liber]

Спасибо, решил)

[Иван_85]

$S(k+1)=2^{2(k+1)-1}+3(k+1)+4=4\cdot 2^{2k-1}+3k+7=$
$=4(2^{2k-1}+3k+4)-9k-9=4S(k)-9(k+1).$