Поле. Нахождение корней полинома

[IPA47]

В общем у меня получилось, что корни уравнения это $\overline t, \overline {t+1}, \overline {t^2}, \overline {t^2+1}$. Что дальше делать? для другого уравнения также методом подстановки и перебора найти корни его? а дальше, как выразить одни через другие? что в ответе должно быть, линейная комбинация вида $z=ax_1+bx_2+\ldots$, где $z$ - корень второго уравнения, а $x_i$ - это корни первого уравнения?


tavrik
учу по методичке, которую выдали в универе

[AV_77]

IPA47 в сообщении #578701 писал(а):

Что дальше делать? для другого уравнения также методом подстановки и перебора найти корни его? а дальше, как выразить одни через другие?

Про автоморфизмы Фробениуса почитайте.

[Joker_vD]

Да, автоморфизмы Фробениуса. Если $f\in \mathbb F_q[x]$ — неприводимый многочлен степени $m$, то в поле $\mathbb F_{q^m}$ содержится любой корень $\alpha$ многочлена $f$. Более того, все эти корни просты и ими являются $m$ различных элементов $\alpha,\alpha^q,\alpha^{q^2},\dots,\alpha^{q^{m-1}}$ поля $\mathbb F_{q^m}$. Так что $f(\overline t)=0$ мигом дает нам оставшиеся корни: $\overline{t}^2=\overline{t^2}$, $\overline{t}^4=\overline{t^4}=\overline{t+1}$, $\overline{t}^8=\left(\overline{t^4}\right)^2=\overline{t+1}^2=\overline{(t+1)^2}=\overline{t^2+1}$.

[IPA47]

Да... Вот это круто! Спасибо. Сегодня как раз увидел расчетное задание у одногруппника, так у него поле с характеристикой 2 и расширением полиномом 11 степени. Так все сомневались про то, что неужели $2^{11}$ элемент подставлять и искать...

понятно, найду корни второго уравнения,а про линейную комбинацию я прав?

[IPA47]

Получилось как-то так:

$f(x)=x^4+x+1$
$x_1=\overline t, x_2=\overline{t+1}, x_3=\overline{t^2}, x_4=\overline{t^2+1}$

$h(z)=z^4+z^3+z^2+z+1$
$z_1=\overline{t^3}, z_2=\overline{t^3+t^2}, z_3=\overline{t^3+t+1}, z_4=\overline{t^3+t^2+t+1}$

Ответ: $z_1=x_1x_3, z_2=x_2x_3, z_3=x_2x_3+1, z_4=x_2x_3+x_4$, где $x_i$ - это корни полинома $f(x)=x^4+x+1$.

Так? Похоже на правду?