Ортогональность

[Viktoriya12]

Доказать ортогональность $x^2 - y = 1$ и $xy=1$
Не могу никак решить, просьба помочь

[Cash]

Кажется, что вы переписали условие с ошибкой.
Они не ортогональны.
А вот если добавить двоечку...

[lek]

Cash в сообщении #576126 писал(а):

Они не ортогональны.

Просветите... Как определяется ортогональность кривых второго (или большего) порядка. Имеется ввиду ортогональность касательных к ним в точке (точках) пересечения?

[Cash]

Она самая.
Про ортогональные окружности не могли не слышать...

-- Пт май 25, 2012 14:57:28 --

Cash в сообщении #576126 писал(а):

А вот если добавить двоечку...

Хм..., имел ввиду $x^2-y^2=1$, но тогда первый график получается поворотом на 45 градусов второго. Значит где-то в другом месте ошибка.

[Viktoriya12]

Условие я переписал, как мне его дали
Есть подозрение на ошибку

Так если вы составим вектор градиента для первой функции и для второй, то у нас получатся как раз ортогональные (если мы допишем двоечку :) )


Просветите, почему на 45 градусов?

[Алексей К.]

Viktoriya12 в сообщении #576140 писал(а):

Так если вы составим вектор градиента для первой функции и для второй,

А вы понимаем, что сначала общую точки надо сыскать, а потом уже градиенты накручивать?

[Viktoriya12]

Все верно говорите, но в данном случае можно найти в произвольной точке

вектора нормали будут (они направлены по градиенту):

$(x_0, -y_0) и (y_0, x_0)$ , если конечно рассматривать с "двоечкой"

[Алексей К.]

Cash в сообщении #576134 писал(а):

Хм..., имел ввиду $x^2-y^2=1$, но тогда первый график получается поворотом на 45 градусов второго.

Не верю. У этой кривой расстояние между вершинами равно 2 $(\pm1,0)$, а у кривой $xy=1$ поболее (вершины в $(\pm1,\pm1)$). Погомотетить ещё надобно, видимо.

-- 25 май 2012, 15:27:53 --

Viktoriya12 в сообщении #576143 писал(а):

Все верно говорите, но в данном случае можно найти в произвольной точке

Зачем в произвольной искать, если ортогональность подразумевает наличие точки пересечения (и в ней должна проверяться)? Если таковой нет, то нет и ортогональности.

[Viktoriya12]

Да, согласна. Но да, точка пересечения для варианта с двоечкой находиться нетрудно. Для первого варианта - невозможно найти эту точку?


Для первого варианта как легко тогда показать, что нет ортогональности ?

[Алексей К.]

Например, решить кубическое уравнение численно-приближённо, проверить ортогональность приближённо. Если сильно не так, можно предположить ошибку в условии. Если похоже на ортогональность, то повозиться с алгеброй, поупрощать, может и вправду без кубических уравнений обойдёмся.
Я вот позабыл компоненты вектора градиента, а то бы, чем всякую ерунду писать за рулём, уже порешать попробовал бы. Не подскажете, пока я до работы доеду? Правда, не помню (типа $(F'_x,F'_y)$? Боюсь, там минусы при частных производных имеются.)

[Viktoriya12]

Дело в том, что приближенно мне не надо. Тут ничего сложного не должно быть. То есть с уравнениями нам возиться не надо точно.
Что касается вектора градиента, то я могу про него сказать следующие:
он ортогонален линиям уровня, проходящим через данную точку, направлен в сторону наиб. роста функции, длина равна производно по направлению, а координаты это частные производные в соответствующей точке

[lek]

Алексей К. в сообщении #576156 писал(а):

Например, решить кубическое уравнение численно-приближённо, проверить ортогональность приближённо. Если сильно не так, можно предположить ошибку в условии.

Можно еще проще поступить. Загнать в Maple обе кривые. По графикам сразу будет видно, есть ошибка в условии или нет...

[Алексей К.]

Не сразу. Ортогональность кривых на глаз плохо детектируется.

-- 25 май 2012, 15:59:11 --

Ну выпишите тогда сами векторы + Ваше условие их ортогональности.

-- 25 май 2012, 16:01:02 --

Глянул на вектора выше, вроде всё просто, если правильно. Условие ортогональности

[ewert]

Алексей К. в сообщении #576156 писал(а):

Например, решить кубическое уравнение численно-приближённо,

Ни к чему. Условие ортогональности даёт некоторое вполне конкретное дополнительное уравнение, причём в данном случае очень простое. Легко проверяется, что эти три уравнения несовместны.

[Viktoriya12]

$e_1 = (x_0, -y_0) and e_2 = (y_0, x_0)$ - ортогональны

-- 25.05.2012, 18:03 --

Мне важно понять, почему первое не верно