Парадокс бинарного отношения тождества

[VPopov]

Уважаемые гуру форума, помогите, пожалуйста, понять следующий парадокс. Речь идет об основном законе математической логики — законе тождества, который формулируется так: $A=B$, если и только если, все свойства A и В – общие. В теории классов он называется законом Лейбница: $A=B$, если и только если каждый класс, который содержит какой-либо из предметов А и В в качестве своего элемента, содержит также и другой в качестве своего элемента. При этом, естественно, подразумевается, что указанные классы – не пустые. В математической логике из закона Лейбница выводится следующее правило: «если в том или ином контексте дано как утверждение или доказано, что $x=y$, то в любой формуле или высказывании, встречающемся в этом контексте, можно заменять “x” знаком “y” и обратно» [Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948. С. 92]. Другими словами, во всех этих формулировках утверждается о бинарном отношении тождества между элементами А и В.

А теперь обратимся к классической формальной логике, согласно которой закон тождества – унарное отношение, а именно:$A=A$или $B=B$. Собственно говоря, классический закон тождества вводит в любой язык (как в естественный, так и математический) отношение рефлексивности для любого знака, а любое бинарное отношение $R(A,B)$ – может быть каким угодно (брат, сосед, друг, враг больше, подобно, конгруэнтно и т.д.), но только не отношением тождества. Об этом утверждает и Фреге: «Тождество возможно только между вещью и ее самой» [Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. 1977. Вып. 8. С. 180]. Невозможность бинарного отношения тождества доказывается и алгебраически. В самом деле, пусть $A\ne0$, $B\ne0$,а также $(A-B)\ne0$, тогда, поскольку по определению $A=B$, то и $A^2=B^2$. Ряд преобразований дает: $A^2-B^2={(A+B)(A-B)}$ а $A^2={AB}$, значит, ${AB}-B^2={(A-B)(A+B)}$. Выносим B за скобки: $B(A-B)={(A-B)(A+B)$. Сокращая последнее выражение на $(A-B)$, получаем: $B=A+B$, т. е. в процессе алгебраических преобразований мы вскрыли субстанциальную нетождественность двух различных предметов, имеющих, поэтому, и разные имена: A и B, и в данном случае математика выступает во всем своем блеске. Тождественность между А и B будет лишь тогда, когда $A=0$ и $B=0$, т. е. когда $0=0$, но это неопределенность (когнитивно пустая тавтология), потому что 0 (ничто) не обладает никакими свойствами. Объясните, пожалуйста, смысл (семантику) закона тождества математической логики.

[venco]

На ноль делить нельзя.

[VPopov]

venco в сообщении #574851 писал(а):

На ноль делить нельзя.

Я это знаю и потому ставлю условие: А, В и А-В - нет равны нулю.

[venco]

Если $A=B$, то $A-B=0$.

[Toucan]

Пока переехали в "Дискуссионные темы (М)". Скорее всего, ненадолго.

[INGELRII]

VPopov
А как это вы определяете $A, B$ так, что $A=B$, но при этом $A-B \neq 0$ ??? Научите меня, я тоже так хочу!

[migmit]

Про деление на ноль вам уже объяснили, добавлю одно замечание:

VPopov в сообщении #574849 писал(а):

0 (ничто) не обладает никакими свойствами.

Кто вам сказал подобную чушь?

И да, завязывайте с Лейбницем.

[epros]

VPopov в сообщении #574849 писал(а):

А теперь обратимся к классической формальной логике, согласно которой закон тождества – унарное отношение, а именно:$A=A$или $B=B$.

Закон тождества в исчислении высказываний - это $A \to A$, где $A$ - пропозициональная переменная.

Бинарное же отношение эквивалентности $a=b$, где $a$ и $b$ - предметные переменные исчисления предикатов, вводится соответствующими аксиомами.

Вы вообще о чём?

[Munin]

VPopov в сообщении #574858 писал(а):

venco в сообщении #574851 писал(а):

На ноль делить нельзя.

Я это знаю

Если вы это знаете, то почему пишете

VPopov в сообщении #574849 писал(а):

Сокращая последнее выражение на $(A-B)$...

? Ведь сокращение уравнения на множитель - это деление его на этот множитель.

[VPopov]

migmit в сообщении #574922 писал(а):

А как это вы определяете так, что , но при этом ??? Научите меня, я тоже так хочу!

Хорошо научу. $A=B$ определяет Лейбниц, я же определяю, что $A=A$ и $B=B$ в строгом соответствии с первым началом логики - законом тождества. Из моего определения вовсе не следует, что $A-B=0$ и поэтому я в качестве иллюстрации привожу эти примитивные преобразования, подставляя в качестве ЭКСПЕРИМЕНТА $A-B\ne0$. Оставим их в покое, потому что они - шутка, и я вполне ожидал такую реакцию от тех, у кого слабовато с чувством юмора. Если принять, что $A-B=0$, то Вы во всем правы. Но в таком случае $A=B$ это уже не отношение тождества (отношение тождества А есть А), а отношение равенства двух величин. Согласно аксиоме Евклида, две величины равны между собою, если они порознь равны третьей. Третьей же величиной во всех таких случаях выступает измерение или вычисление, и, таким образом, отношение равенства устанавливается между числами, но не между денотатами. В законе тождества же речь идет о тождественности себе ЗНАКА, позади которого стоит ДЕНОТАТ (некая сущность) и который,по Фреге и Черчу, имеет триединую структуру: синтаксис (имя), семантику (смысл и содержание) и прагматику (назначение и/или интерпретацию).

epros в сообщении #574948 писал(а):

Закон тождества в исчислении высказываний - это , где - пропозициональная переменная.

Бинарное же отношение эквивалентности , где и - предметные переменные исчисления предикатов, вводится соответствующими аксиомами.

Совершенно с Вами согласен (А стрелка А) это просто другая запись унарного отношения тождества, которое записывается в формальной логике как $A=A$. А все другие БИНАРНЫЕ отношения в исчислении предикатов - это действительно отношения эквивалентности, общий вид которых есть $a=b$. Они рефлексивны $a=a$ и $b=b$, симметричны и транзитивны (писать не буду). Именно рефлексивность и заложена в первой аксиоме логики - законе тождества, которая всегда должна соблюдаться и в матлогике, и в любых физических теориях и доказывать ее не надо (аксиомы, ка Вы знаете не доказываются), а ей надо строго следовать. Иначе получится, что $A =A+B$, а за лесом формул это часто и не замечается. Вот я об этом, если угодно.

-- 23.05.2012, 18:52 --

Munin в сообщении #574967 писал(а):

Если вы это знаете, то почему пишете

Если серьезно, то я применил метод доказательства reductio ad absurdum - один из наиболее эффективных инструментов математики, против которого как против лома нет приема. Математика же, как известно, наука строгая и никакая приблизительность ей не к лицу. Аксиома тождества - основа любого рассуждения: от бытового до теории КТП.

[venco]

VPopov в сообщении #575215 писал(а):

Если серьезно, то я применил метод доказательства reductio ad absurdum - один из наиболее эффективных инструментов математики, против которого как против лома нет приема.

Т.е. вы успешно доказали, что $A=B$ и $A-B\ne 0$ противоречат друг другу, или, другими словами, $A=B$ $\to$ $A-B=0$

[VPopov]

venco в сообщении #575283 писал(а):

Т.е. вы успешно доказали, что и противоречат друг другу, или, другими словами,

Не понял, что Вы хотели этим сказать. Что есть метод доказательства от противного? Это всегда введение некоторой гипотезы. Возьмем классический пример: доказательство Евклидом того, что существует бесконечно много простых чисел Предположим, что последовательность простых чисел кончается, т. е. 2, 3, 5..... Р - все входящие в нее числа и Р - наибольшее из них, на что любой математик сразу скажет: это чушь, ряд чисел никогда не кончается, ни простых, ни составных. И это истинная правда, но это всего лишь мерзкая эмоция, а не доказательство. Евклид на подобную эмоцию невозмутимо продолжает: следуя этой гипотезе, рассмотрим число $Q=(2\cdot3\ncdot....P)+1$. Ясно, что Q не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, ... Р, так как при делении на любое из этих чисел будет остаток 1. Но если Q не простое, то оно должно делиться на какое-то ПРОСТОЕ число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, даже число Q), большее, чем любое из чисел 2, 3, 5... Р. Это противоречит сделанному РАНЕЕ предположению о том, что не существует простого числа, которое превосходило бы число Р, и, следовательно, это предположение неверно, а верно то, что ряд простых чисел никогда не кончается.
Я также ввожу гипотезу: А, В и А - В - не равны нулю и показываю далее, что при таком раскладе получается абсурд. Значит, А и В могут быть тождественны лишь тогда, когда они ничем (ни одним из своих свойств) не отличаются одно от другого, но согласно закону тождество это тогда либо А, либо В, т.е. одна сущность (не следует плодить лишние сущности, сказал схоласт Оккам), но не две, между которыми Лейбниц хотел установить бинарное отношение тождества. Следовательно, верна аксиома Аристотеля, что А есть А, а все другое - от лукавого.
Известно изречение Гераклита: "В одну и ту же реку мы не входим дважды" и некоторые философы (Аристотель, кстати, был один из них) видят в этом афоризме покушение на закон тождества. Это не так: унарное отношение тождества - СИНХРОНИЧЕСКОЕ. Река течет и вместе с ней течет ее время, которое определяет ее как некий денотат. Изменяется же река относительно наблюдателя (допустим, Иванова) который как денотат тоже в каждый момент времени тождественен только себе: и когда был маленький с кудрявой головой и когда станет старым и лысым. Он всегда Иванов, тождественная себе сущность, пока не умрет. А все другие БИНАРНЫЕ отношения (в частности отношения эквивалентности) имеют ДИАХРОНИЧЕСКИЙ характер. Но это уже другая логика.

[migmit]

VPopov в сообщении #575335 писал(а):

Я также ввожу гипотезу: А, В и А - В - не равны нулю и показываю далее, что при таком раскладе получается абсурд.

Значит, $A-B$ таки равно нулю. Что вам ещё непонятно?

[epros]

VPopov в сообщении #575215 писал(а):

Совершенно с Вами согласен (А стрелка А) это просто другая запись унарного отношения тождества, которое записывается в формальной логике как $A=A$.

Я не знаю что Вы имеете в виду под «формальной логикой». Я говорю о математической логике, в которой знак $\to$ обозначает логическую связку - импликацию, а значит ставится он между пропозициональными переменными. Между числами он НЕ СТАВИТСЯ.

Знак же $=$ является бинарным предикатным символом, так что между пропозициональными переменными он как раз не ставится (а вот между числами может ставиться).

Так что не путайте одно с другим и попробуйте ещё раз сформулировать то, что Вы хотели сказать.

[vorvalm]

VPopov в сообщении #575335 писал(а):

Предположим, что последовательность простых чисел кончается, т. е. 2, 3, 5..... Р - все входящие в нее числа и Р - наибольшее из них, на что любой математик сразу скажет: это чушь, ряд чисел никогда не кончается, ни простых, ни составных.

Смелое заявление после Евклида и Эйлера.