Как ввести коэффициент кривизны кривой?

[arseniiv]

Но никто не сказал, что обязательно обобщённые функции использовать!

[Алексей К.]

Но и игнорировать их как бы нельзя (картинка про излом как обобщённую функцию). Приравнивать непрямую ломаную к честной прямой по меньшей мере нечестно!
Интеграл от кривизны называется поворотом кривой.
Интеграл от модуля кривизны есть вариация поворота кривой.
Если не ошибаюсь, ограниченность вариации поворота эквивалентна спрямляемости.

[Munin]

arseniiv в сообщении #574353 писал(а):

Но никто не сказал, что обязательно обобщённые функции использовать!

Пока речь шла о кривых, а не о ломаных, надобности в них и не было.

[arseniiv]

А.

А с ними точно получится? (Я с ними не умею работать.)

Пусть $\xi(t) = \begin{cases} (t\cos\alpha, t\sin\alpha), & t \geqslant 0 \\ (-t, 0), & t < 0 \end{cases}$.

Параметризация получается натуральная. Значит, $|\xi''|$ — кривизна.

$\xi'(t) = \left( H(t) \left( \cos\alpha + 1 \right) - 1, H(t) \sin\alpha \right) = H(t) \left( \cos\alpha + 1, \sin\alpha \right) - (0, 1)$ (если ещё верно).

$\xi''(t) = \delta(t) \left( \cos\alpha + 1, \sin\alpha \right)$.

Интегрируем скалярную кривизну, например, на $[-1; 1]$ — должны получить что-то, содержащее $\alpha$.

$\int\limits_{-1}^1 \left|\xi''(t)\right| dt = \int\limits_{-1}^1 \delta(t) \sqrt{\cos^2 \alpha + 2\cos\alpha + 1 + \sin^2 \alpha} \,dt = \sqrt{2\cos\alpha + 2} = ?$

Определённо, что-то не то насчитал.

[bigarcus]

Я вот этого не понял. Ну, вроде, и ладно. Интересуют ломаные.

-- Пн май 21, 2012 23:33:30 --

Задача типа прокладки кабеля.

[Munin]

$\sqrt{2\cos\alpha + 2}=\sqrt{4\dfrac{\cos\alpha+1}{2}}=2\sqrt{\cos^2\tfrac{\alpha}{2}}=2\cos\tfrac{\alpha}{2}.$
Это длина векторной разности между векторами скорости на первом и втором участке ломаной.

Почему не длина дуги? Потому что "внутри" дельта-функции было нарушено условие нормировки, что длина вектора скорости всегда 1. Если взять предел более аккуратно, можно это условие сохранить, и получить интеграл ровно $\alpha.$

[arseniiv]

А если бы получилось что-то типа $\delta(bt)$, можно было бы автоматически получить верный ответ?

[Алексей К.]

arseniiv в сообщении #574401 писал(а):

Параметризация получается натуральная. Значит, $|\xi''|$ — кривизна.

Значит, $y''x'-x''y'$ --- кривизна. Без всяких там модулей.

[Munin]

Алексей К. в сообщении #574474 писал(а):

arseniiv в сообщении #574401 писал(а):

Параметризация получается натуральная. Значит, $|\xi''|$ — кривизна.

Значит, $y''x'-x''y'$ --- кривизна. Без всяких там модулей.

Вот только этим определением не воспользоваться: первая производная имеет разрыв ровно в той точке, в которой вторая - дельта-функция.

А arseniiv подразумевал простую вещь: если точка движется по кривой с единичной скоростью, то её ускорение равно кривизне. Вот только это постоянство скорости выдержать в точке излома кривой не удалось.

[miflin]

bigarcus в сообщении #574405 писал(а):

Задача типа прокладки кабеля.

Вы бы конкретизировали свою проблему, иначе кабель Вам придется
прокладывать типа в банаховом пространстве.:)

[Алексей К.]

Munin в сообщении #574498 писал(а):

Вот только этим определением не воспользоваться:

Это всё же не определение. Определение вроде бы $k(s)=\frac{d\tau}{ds}$, и им можно воспользоваться. Чисто хотел исправить ужасное заблуждение arseniiv.

(Оффтоп)

Странно, что модераторы его не забанили за это $|\xi''|$. Иных даже за маленький матерок подвешивают, а тут такое...

Munin в сообщении #574498 писал(а):

А arseniiv подразумевал простую вещь: если точка движется по кривой с единичной скоростью, то её ускорение равно кривизне

Понял: скорость постоянна, у ускорения только нормальная компонента, и тогда она пропорциональна модулю кривизны. И вообще, мне уже svv указывал на это, да я позабыл...

[miflin]

(Оффтоп)

Мужики, а когда начнётся типо прокладывание кабеля? :)

[Munin]

Алексей К. в сообщении #574590 писал(а):

Странно, что модераторы его не забанили за это $|\xi''|$.

Я не вижу, за что тут банить. При условии натуральной параметризации (что он оговорил), это - кривизна. А за ошибки в расчётах банить - это уж слишком.

[arseniiv]

[gris]

bigarcus в сообщении #574405 писал(а):

Интересуют ломаные <...>Задача типа прокладки кабеля.

А разве ломаные кабели прокладывают?