О подбрасывании монетки

[Munuvonaza]

Здравствуйте, уважаемые господа-математики!
Разбираясь более подробно с вопросами теории вероятностей и математической статистики, у меня возникло несколько вопросов, связанных с реализацией случайной величины в виде эмпирического вариационного ряда, и вопросах их сопоставления
Итак известно, что нормальная монета с вероятностью одна вторая может упасть на сторону орла или сторону решки, что является априорной величиной
Далее берется некоторая монета, о которой известна, что она является нормальной (Конечно это модель, но ничто не запрещает использовать такую модель идеальной монеты для мысленного эксперемента), и подбрасывается некоторое число раз
Допустим момента была подброшена 99 раз, и в результате получился некоторый вариационный ряд, который ображает реализацию исходной случайной величины, и так вышло, что все 99 раз вподряд монета выпала на сторону орла; Вопрос - какова вероятность того, что на 100-ый раз моента выпадент на сторону решки

Несложный поиск материалов на эту тему говорит о том, что подбрасывания монеты являются независимыми величинами, и вероятность останется прежней - одна вторая; Тем не менее если посмотреть на этот вопрос более внимательно, то можно показать, что такое суждение противоречит данным об априорной вероятности выпадения сторон монеты
Действительно, согласено закону больших чисел, при увеличении числа эксперементов, среднее значение вариационного ряда будет стремиться к математическому ожиданию оригинальной случайной величины; Точнее, вероятность отклонения от нее на величину эпсилон при стремлении числа реализаций к бесконечности, будет стремиться к нулю
Получим что среднее значение в полученном вариационном ряде, включающий 99 выпадений монеты на сторону орла, должно отличаться от математического ожидания случайной величины, на величину, не большую чем эпсилон; Даже если 99 является слишком маленьким числом, то можно взять 999 или 99999999999, это не столько существенно для демонстрации вопроса

То есть получается, что к примеру среднее значение вариационныого ряда, состоящего из 9999999999 результатов выпадения монеты на стороне орла, должен совпадать с математическим ожиданием с вероятностью почти 100%; А чтобы это произошло, вероятность выпадения последней решки должна стать почти 100%
Действительно если это будет не так, то вариационный ряд не будет являться отражением исходной случайной величины, а это противоречит условию; Конкретно это будет следовать, если применить любой из метод оценок соответствия вариаицонного ряда и случайной величины - метод моментв, метод наибольшего правдоподобия, или же метод квадратов

Кроме того существует практический способ, который позволяет доказать верность приведенных выше суждений; Действительно, согласно положениями теории вероятностей, вероятность выпадения комбинации ОРРОО будет равна вероятности выпадения комбинации ОООРР, откуда следует, что элементы вариационного ряда можно спокойно переставлять между собой; Это оправдывается и с позиции независимости реализаций случайной величины, поэтому их порядок не имеет значения

Проводится такой эксперемент: программно генерируется 20 случайных чисел, которые с одинаковой вероятностью равны 0 или 1, после чего полученный ряд упорядочивается в порядке возрастания; Известно что в результате некоторого эксперемента, в первой половине ряда получилось десять нулей, что можно сказать о второй половине ряда?
Очевидно что при эмпирическом выполнении предполагаемой модели, вероятность нахождения единицы во второй части больше, чем нуля, хотя обе комбинации являются равновероятными

А теперь, внимание, вопрос: как такое может быть, где ошибка в рассуждениях (Да я знаю, что про подобный вопрос есть даже статья на Википедии, с названием Ошибка игрока, но здесь несколько другая ситуация)

С уважением

[Joker_vD]

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

То есть получается, что к примеру среднее значение вариационныого ряда, состоящего из 9999999999 результатов выпадения монеты на стороне орла, должен совпадать с математическим ожиданием с вероятностью почти 100%;

Нет. Никоим образом. Вероятность того, что при $2n$ бросках монеты орел выпадет ровно $n$ раз, стремится к нулю с ростом $n$. Опаньки, да?

[venco]

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

А теперь, внимание, вопрос: как такое может быть, где ошибка в рассуждениях

Ошибок много, в добавок к уже упомянутой.

Например:

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

Несложный поиск материалов на эту тему говорит о том, что подбрасывания монеты являются независимыми величинами, и вероятность останется прежней - одна вторая

Это относится к идеальной монете. В реальности вы не можете исключить возможность, что вероятности исходов броска монеты таки не равны половине.

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

Проводится такой эксперемент: программно генерируется 20 случайных чисел, которые с одинаковой вероятностью равны 0 или 1, после чего полученный ряд упорядочивается в порядке возрастания; Известно что в результате некоторого эксперемента, в первой половине ряда получилось десять нулей, что можно сказать о второй половине ряда?
Очевидно что при эмпирическом выполнении предполагаемой модели, вероятность нахождения единицы во второй части больше, чем нуля, хотя обе комбинации являются равновероятными

Неверно. После сортировки единицы нули во второй половине уже не равновероятны.

[Integrall]

Joker_vD в сообщении #572115 писал(а):

Нет. Никоим образом. Вероятность того, что при $2n$ бросках монеты орел выпадет ровно $n$ раз, стремится к нулю с ростом $n$. Опаньки, да?

и тем не менее здесь ошибки нет. В данном случае Закон Больших Чисел на стороне Munuvonaza.

venco в сообщении #572123 писал(а):

После сортировки единицы нули во второй половине уже не равновероятны.

совершенно верно.

[g______d]

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

То есть получается, что к примеру среднее значение вариационныого ряда, состоящего из 9999999999 результатов выпадения монеты на стороне орла, должен совпадать с математическим ожиданием с вероятностью почти 100%;

Что значит "с вероятностью почти 100%"? Если мы уже зафиксировали, что выпало 9999999999 орлов, то это условная вероятность, про которую закон больших чисел ничего не говорит. Если не зафиксировали, то неважно, что выпадет на оставшейся монетке, уже сама вероятность выпадения такого количества орлов очень мала.

-- 17.05.2012, 04:07 --

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

Действительно если это будет не так, то вариационный ряд не будет являться отражением исходной случайной величины, а это противоречит условию; Конкретно это будет следовать, если применить любой из метод оценок соответствия вариаицонного ряда и случайной величины - метод моментв, метод наибольшего правдоподобия, или же метод квадратов

Прочитайте внимательно инструкции по применению этих методов. Они же никогда не дают точного ответа, а только говорят фразу, подобную следующей: "Если выпало 9999999999999 орлов, то либо монетка жульническая, либо произошло очень маловероятное событие." Ваша ситуация относится ко второму варианту.

Можно говорить, что все возможные последовательности выпадений монетки равновероятны, и тем самым фраза "произошло маловероятное событие" теряет смысл --- вероятность данной конкретной последовательности ровно такая же, как и у любой другой. Поэтому нужно правильно выбирать разбиение на события --- например, связанные с симметрией задачи. Разумным вариантом будет классификация по количеству орлов.

[--mS--]

Integrall в сообщении #572133 писал(а):

и тем не менее здесь ошибки нет. В данном случае Закон Больших Чисел на стороне Munuvonaza.

ЗБЧ ничего не говорит про вероятность среднему совпадать с матожиданием. А вероятность эта стремится-таки к нулю, и скорость по формуле Стирлинга выписывается легко и просто.

[Евгений Машеров]

Парадокс возникает из-за подмены понятий. Сперва говорится об идеально равновероятной монете, для которой вероятность выпадения орла никак не зависит от того, что выпадало прежде (но вот вероятность, что 99 раз подряд выпадет орёл, равна $1.5777\cdot 10^{-30}$), а потом, не оговаривая прямо, начинают говорить о более реалистичной ситуации, когда монета, пусть и с малой вероятностью, является "двухорловой". И тут уже надо рассуждать байесовски. То есть если лишь одна из триллиона монет двухорловая, то, если 99 раз подряд выпал "орёл", апостериорная вероятность того, что именно она нам попалась, есть 0.999999999999999999.

[Алексей К.]

Ещё одна распространённая ошибка:

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

Разбираясь более подробно с вопросами теории вероятностей и математической статистики, у меня возникло несколько вопросов

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Да! И шляпа слетела!

[gris]

А я протестую! Эту структуру освятил Антон Павлович, и я её иногда использую для повышения эстетизьма.

А мне кажется, что ТС хочет вместо случайной величины получить случайный процесс. Чтобы у монеты появлялось специальное корректирующее изменение вероятности орла. Только вот что должна принимать во внимание монета? Своё поведение за последнюю серию бросаний? За всю свою жизнь? Или вообще все бросания всех монет в мире. Тогда серия из триллиона орлов может быть ответом на какой-нибудь джек-пот в Монако.

[TOTAL]

Munuvonaza в сообщении #572112 писал(а):

Проводится такой эксперемент: программно генерируется 20 случайных чисел, которые с одинаковой вероятностью равны 0 или 1, после чего полученный ряд упорядочивается в порядке возрастания; Известно что в результате некоторого эксперемента, в первой половине ряда получилось десять нулей, что можно сказать о второй половине ряда?
Очевидно что при эмпирическом выполнении предполагаемой модели, вероятность нахождения единицы во второй части больше, чем нуля, хотя обе комбинации являются равновероятными

Я бросил на стол 100 монет, затем убрал со стола все монеты-решки. Потом глянул на стол и охренел от того, что там остались только монеты-орлы, хотя обе комбинации являются равновероятными.

[Munuvonaza]

Спасибо всем, кто обратил внимание на мою тему, и уделил свое время на написание комментариев по изложенным вопросам; Попрорую ответить по порядку по всем позициям

Joker_vD в сообщении #572115 писал(а):

Нет. Никоим образом. Вероятность того, что при бросках монеты орел выпадет ровно раз, стремится к нулю с ростом . Опаньки, да?

Действительно так и есть - вероятность выпадения любой заданной наперед комбинации является очень маленьнкой величиной, и состоит в пропорции 2 в степени минус длина последовательности; Тем не менее изложенный факт мало пересекается с изначальной поставленной задачей

venco в сообщении #572123 писал(а):

Это относится к идеальной монете. В реальности вы не можете исключить возможность, что вероятности исходов броска монеты таки не равны половине.

Совершенно согласен, что в реальной жизни скорее всего так и будет; более того, если в реальной жизни произойдет выпадение монеты на одну сторону вподряд большое число раз, то это скорее всего будет свидетельствовать о том, что монета не явлется нормальной, и если говорить формально, полученный вариационный ряд не является реализацией предполагаемой случайной величины в соответствии с методом наибольшего правдоподобия, то есть гипотеза Н0 оказалась неверное, и нужно принять конкурирующую гипотезу Н1 о том, что выпадение такой монетки не соответствует указанному закону распределения
Однако именно для этой цели постановка задачи была поставлена таким образом, что проводится мысленный эксперемент, в котором считается, что монета нормальная (Допустим ее центр тяжести и аэродинамические характеристики были выверены точнейшим оборудванием, и подбрасывание производится идеальным образом); Только в такой постановке и возникает означенный вопрос - в противном случае будет иметь место указанный выше случай, включающий гипотезы Н0 и Н1 соответственно

venco в сообщении #572123 писал(а):

Неверно. После сортировки единицы нули во второй половине уже не равновероятны.

Действительно после уже более внимательного просмотра, должен признать, что задача с сортировкой не является совсем корректной, поэтому ее желательно исключитель из дальнейшего рассмотрения; Должен добавить, что остальные рассуждения никак не опирались на эту задачу, поэтому ее опровержение, с которым я полностью согласен, пока ни о чем не говорит по теме

Integrall в сообщении #572133 писал(а):

И тем не менее здесь ошибки нет. В данном случае Закон Больших Чисел на стороне Munuvonaza.

Спасибо что обратили внимание на тот факт, что приведенное утверждение никак не перекрывается с поставленной мной задачей; Кроме того Вы совершенно правильно отметили, что весь вопрос о подбрасывании монетки рассматривается исключительно в контексте закона больших чисел, когда есть заранее известная случайная величина, распределенная по известному закону, и вариационный ряд, отражающий выпадение этой случайной величины столько раз, сколько необходимо для действий закона больших чисел

g______d в сообщении #572144 писал(а):

Что значит "с вероятностью почти 100%"? Если мы уже зафиксировали, что выпало 9999999999 орлов, то это условная вероятность, про которую закон больших чисел ничего не говорит. Если не зафиксировали, то неважно, что выпадет на оставшейся монетке, уже сама вероятность выпадения такого количества орлов очень мала.

Если внимательно посмотреть формулировку теорем, связанных с законами больших чисел (По крайней мере в той формулировке, что попадались именно мне), то в них действительно по сути описывается вероятность вероятности...
Конкретно, теорема Бернулли указывает стремление среднего значения вариационного ряда к математическому ожиданию соответствующей случайной величины, причем теорема определяется вероятность расхождения не больше, чем на величину эпсилон, при заданном объеме выборки из генеральной совокупности
Можно отчетливо видеть, что такие теоремы, как например Чебышева или Бернулли, включают в явном виде вероятность оценки математического ожидания исходной случайной величины (По сути тоже - вероятности) в пределе величины эпсилон; В свете такой постановки вопроса, означенная цитата про "Вероятность почти 100%" имеет вполне понятное определение

g______d в сообщении #572144 писал(а):

Прочитайте внимательно инструкции по применению этих методов. Они же никогда не дают точного ответа, а только говорят фразу, подобную следующей: "Если выпало 9999999999999 орлов, то либо монетка жульническая, либо произошло очень маловероятное событие." Ваша ситуация относится ко второму варианту.

Совершенно верное замечание! Учитывая постановку задачи, в которой монета признается точно нормальной, происхождение события, заключающегося в выпадении очень большого количества орлов, должно увеличивать вероятность выпадния последующей решки...
Дело заключается в том, что если вероятность выпадение при последующем броске монеты на сторону решки не увеличится, то в таком случае в неравестве, записываемом в теореме Бернулли, резко упадет вероятность сопоставления средней величины в вариационном ряде и математического ожидания случайной величины, а это противоречит исходному условию, заключающегося в том, что вариационный ряд является реализацией это случайной величины, и его объем достаточен для применения законов больших чисел
Действительно получается нечто вроде доказательства от противного, которое исходя из того факта, что вариационный ряд является реализацией это случайной величины, и его объем достаточен для применения законов больших чисел, требует вероятности в правой части теоремы Бернулли близкой к 100%, что в свою очередь требует увеличение вероятности выпадения решки

g______d в сообщении #572144 писал(а):

Можно говорить, что все возможные последовательности выпадений монетки равновероятны, и тем самым фраза "произошло маловероятное событие" теряет смысл --- вероятность данной конкретной последовательности ровно такая же, как и у любой другой. Поэтому нужно правильно выбирать разбиение на события --- например, связанные с симметрией задачи. Разумным вариантом будет классификация по количеству орлов.

Хорошая идея, однако мне не до конца понятно ее претворение в жизни; Позволю попросить у Вас конкретный пример, учитывающий симметрию задачи и классификацию по количеству выпадаемых орлов

--mS-- в сообщении #572151 писал(а):

ЗБЧ ничего не говорит про вероятность среднему совпадать с матожиданием. А вероятность эта стремится-таки к нулю, и скорость по формуле Стирлинга выписывается легко и просто.

Законы больших чисел - это группа теорем, как раз-таки связывающих средние значения вариационных рядов, с сопоставляемыми математическими ожиданиями и дисперсиями соответствующих случайных величины; в это законы входят неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли и теорема Пуассона, и далее уже ЦПТ (Опять-таки, мне попадались именно подобные определения и формулировки теорем - Н.Ш. Кремер - Теория вероятностей и математическая статистика)

Евгений Машеров в сообщении #572216 писал(а):

Парадокс возникает из-за подмены понятий. Сперва говорится об идеально равновероятной монете, для которой вероятность выпадения орла никак не зависит от того, что выпадало прежде (но вот вероятность, что 99 раз подряд выпадет орёл, равна ), а потом, не оговаривая прямо, начинают говорить о более реалистичной ситуации, когда монета, пусть и с малой вероятностью, является "двухорловой". И тут уже надо рассуждать байесовски. То есть если лишь одна из триллиона монет двухорловая, то, если 99 раз подряд выпал "орёл", апостериорная вероятность того, что именно она нам попалась, есть 0.999999999999999999.

Скорее всего в Вашем комментарии и кроется ответ на рассматриваемый вопрос, поскольку вероятности бывают априорные и апостериорные, и вполне возможно, что в предложенной задачи где-то произошло неявное перемещение этих категорий вероятностей, которое я упустил из виду
Тем не менее конкретный предложенный Вами пример не совсем соответствует разбираемому мысленному эксперименту, поскольку предполагается, что исходная случайная величина известа, и есть вариационный ряд, полученный достоверно имеено из ее реализацией; В Вашей же постановки задачи заранее не известно, какая монета фигурирует в конечном вариационном ряду, и здесь уже можно, применив например метод наибольшего правдоподобия, определить исходное случайное распределение
Ключевым момент в различии является тот факт, что в предполагаемом мысленном эксперементе точно известно (Из каких-то внешних достоверных источников, не лежащих в поле решения задачи), о соответствии случайной величины и вариационного ряда; В вашем случае это неизвестно, и можно прекрасно применять любые оценочные методы для выполнения соответствующего сравнения
Закон больших чисел в таком случае будет тоже полезен, но для оценки достаточности объема вариационного ряда по сравнению с генеральной совокупностью, в качестве которой в этот раз правда будут выступать уже не все возможные комбинации выпадения монеток, а множества из нормальных и не нормальных монет

TOTAL в сообщении #572317 писал(а):

Я бросил на стол 100 монет, затем убрал со стола все монеты-решки. Потом глянул на стол и охренел от того, что там остались только монеты-орлы, хотя обе комбинации являются равновероятными.

Копирую: Действительно после уже более внимательного просмотра, должен признать, что задача с сортировкой не является совсем корректной, поэтому ее желательно исключитель из дальнейшего рассмотрения; Должен добавить, что остальные рассуждения никак не опирались на эту задачу, поэтому ее опровержение, с которым я полностью согласен, пока ни о чем не говорит по теме

gris в сообщении #572278 писал(а):

А мне кажется, что ТС хочет вместо случайной величины получить случайный процесс. Чтобы у монеты появлялось специальное корректирующее изменение вероятности орла. Только вот что должна принимать во внимание монета? Своё поведение за последнюю серию бросаний? За всю свою жизнь? Или вообще все бросания всех монет в мире. Тогда серия из триллиона орлов может быть ответом на какой-нибудь джек-пот в Монако.

Совершенно верно, Вы предложили именно то что нужно - случайный процесс, для которого введена коррелирующая функция, описывающая изменение вероятностей выпадения заданной стороны монетки, в зависимости от предшествующих исходов
Действительно простое утверждение об изменении вероятности выпадения заданной стороны монетки, в зависимости от предшествующих исходов, приводит к достаточно парадоксальным выводам, таким как Вы предлагаете: Тогда серия из триллиона орлов может быть ответом на какой-нибудь джек-пот в Монако
Сложно определить конкретную временную и пространственную область действия предложенной гипотезы, однако справедливо распространять ограничение на каждую отдельную монету, подкидываему в идентичных условиях - в таком случае случайная величина, которую реализуют выпадения монеты будет идентичной... Во всех остальных случаях случайная величина уже будет другой, и поэтому действие мысленного эксперемента уже не будет распространяться

Проверить справедливость такого суждения можно эмпирически: например есть некоторая коммерческая программа, которая требует ввод лицензии, но с вероятностью 0.1 запускается бесплатно для пробного использования... Ваша цель - запустить программу в режиме для пробного использования (Например чтобы оценить, нужна ли ее покупка в дальнейшем)
Очевидно, что если программа не запустилась с первого раза, вы будете повторять испытания; Чем дольше вы будете продолжать этот процесс, тем больше вы уверены, что требуемая реализация случайной величины, случится в последующим запуском программы; В реальной жизни так и будет происходить, а это по сути и является подтверждение озвученной в текущей теме гипотезы и мысленного эксперимента

PS Спасибо всем, кто прочитал это сообщение

[arseniiv]

Munuvonaza в сообщении #572531 писал(а):

Чем дольше вы будете продолжать этот процесс, тем больше вы уверены, что требуемая реализация случайной величины, случится в последующим запуском программы

У кого как. У меня уверенность никак не меняется. (Например, я сталкивался с программой, которая по неизвестной причине примерно с одинаковой вероятностью при запуске завершается с ошибкой.)

[g______d]

Munuvonaza в сообщении #572531 писал(а):

g______d в сообщении #572144 писал(а):

Прочитайте внимательно инструкции по применению этих методов. Они же никогда не дают точного ответа, а только говорят фразу, подобную следующей: "Если выпало 9999999999999 орлов, то либо монетка жульническая, либо произошло очень маловероятное событие." Ваша ситуация относится ко второму варианту.

Совершенно верное замечание! Учитывая постановку задачи, в которой монета признается точно нормальной, происхождение события, заключающегося в выпадении очень большого количества орлов, должно увеличивать вероятность выпадния последующей решки...

Ни в коем случае не должно. Нельзя применять теоремы вроде закона больших чисел к конкретной уже произошедшей последовательности выпадений (видимо, Вы это называете вариационным рядом). Можно только ко всем последовательностям сразу. Вероятность уже этого события (выпадения 9999999999999 орлов) изначально была маленькая. И неважно, что выпадет на следующем ходу, этого уже не исправить.

-- 18.05.2012, 00:48 --

Munuvonaza в сообщении #572531 писал(а):

Дело заключается в том, что если вероятность выпадение при последующем броске монеты на сторону решки не увеличится, то в таком случае в неравестве, записываемом в теореме Бернулли, резко упадет вероятность сопоставления средней величины в вариационном ряде и математического ожидания случайной величины, а это противоречит исходному условию, заключающегося в том, что вариационный ряд является реализацией это случайной величины, и его объем достаточен для применения законов больших чисел
Действительно получается нечто вроде доказательства от противного, которое исходя из того факта, что вариационный ряд является реализацией это случайной величины, и его объем достаточен для применения законов больших чисел, требует вероятности в правой части теоремы Бернулли близкой к 100%, что в свою очередь требует увеличение вероятности выпадения решки

Такого не может быть. Запишете на математическом языке --- найдем ошибку.

[INGELRII]

Поразительно, сколько раз уже всплывал этот простой, в общем-то, вопрос. Хочется вот что заметить: процесс подбрасывания монетки можно потенциально продолжать до бесконечности. Таким образом, если монета правильная, то даже если в первые 99999999999999 раз выпал орел, мы потом бросим ее еще 9999999999999999999999999999999 раз. Из них примерно в половине случаев выпадет решка, и эти 99999999999999 орлов, которые выпали у нас сначала, банально съедятся относительной погрешностью эксперимента. И никто никогда не вспомнит, что эти 99999999999999 орлов вообще существовали в природе.

Поэтому сам вопрос "у меня нормальная монета, но выпало 100500 орлов, что делать, как быть???" вообще не заслуживает какого-либо внимания. Ну выпали, выпейте шампанского: вам удалось пронаблюдать очччень маловероятное событие. Это все, что тут следует сделать. Маловероятные события тоже порой происходят...