Пример множества.

[slavko]

Приведите пример замкнутого подмножества R, такого что оно не есть замыканием счетного подмножества.

[Dave]

Такого множества нет.

[RIP]

Dave в сообщении #569199 писал(а):

Такого множества нет.

Это зависит от определения счётного множества. Если под счётным понимать равномощное $\mathbb N$, то очень даже есть.

[Dave]

RIP в сообщении #569210 писал(а):

Это зависит от определения счётного множества. Если под счётным понимать равномощное $\mathbb N$, то очень даже есть.

Я именно такое определение счётного множества и использовал. Думаю, что автор темы тоже.

[slavko]

Счетный понимается в классическом смысле (равномощный N).
Так какое все-таки множество?

[RIP]

А какие замкнутые множества Вы знаете?

[slavko]

Ну например множество Кантора. Но не знаю подходит ли оно.

[RIP]

Слишком сложно. Проще надо быть. Чем проще, тем лучше.

[Dave]

slavko в сообщении #569190 писал(а):

Приведите пример замкнутого подмножества R, такого что оно не есть замыканием счетного подмножества.

А подразумевается ли в условии, что у исходного множества вообще есть хотя бы одно счётное подмножество?

[slavko]

Извините, я с самого начала имел ввиду является замыканием не более чем счетного множества.

[Dave]

Т.е. формулировка должна звучать так?

Приведите пример замкнутого подмножества R, такого что оно не есть замыкание не более чем счетного подмножества.

Тогда я по-прежнему утверждаю, что такого множества нет.

[slavko]

На самом деле я изначально хотел задать вопрос так:
Существует ли вещественное множество, такое что оно не является подмножеством замыкания никакого из своих не более чем счетных подмножеств.

[Dave]

Тот же ответ. Нужно использовать то, что пространство $\mathbb R$ удовлетворяет второй аксиоме счётности.

[slavko]

Все, спасибо, разобрался.
Поскольку [0,1] - сепарабельное метрическое пространство, то и подмножество его - сепарабельное, поетому такого множества не существует.

[Dave]

Примерно так. Хотя вторая аксиома счётности - не то же самое, что сепарабельность, но для метрических пространств эти два свойства эквивалентны.