Специальная линейная группа

[Spandei]

Что-то не идут у меня дела со специально линейной группой...
Не могу решить:
Пусть $n,m \geq 2$ - натуральные числа и $S_{n,m} = SL_n(Z;mZ)$ - подмножество в $SL_n(Z)$, состоящее из матриц вида $E+Xm$, где $X$ - целочисленная квадратная матрица размера $n$. Доказать, что
а) $S_{n,m}$ - нормальная подгруппа в $SL_n(Z)$;
б) $SL_n(Z)/S_{n,p} \cong SL_n(Z/pZ)$, где $p$ - простое число.

В условии стоит $S_{n,m} = SL_n(Z;mZ)$, поэтому я сюда так и перепечатал, но, наверное, это опечатка, и имелось в виду $S_{n,m} = SL_n(Z\mZ)$.
То, что это подгруппа доказать получилось:
1) $(E+Xm)(E+Ym)=E+(X+Y)m+XYm^2=E+(X+Y+XYm)m$. Произведение также принадлежит этому множеству;
2) ассоциативность следует из ассоциативности умножения матриц;
3) единичный элемент существует, т.к. единичная матрица принадлежит этому множеству;
4) обратный элемент также существует для любого элемента, т.к. по определению в группу $SL_n(Z)$ входят только обратимые матрицы.

С тем, чтобы доказать нормальность проблемы.
Для любой матрицы $A$ в $SL_n(Z)$ должно выполняться:
$A \cdot S_{n,m}=S_{n,m} \cdot A$
Это все равно, что $A(E+Xm)=(E+Xm)A$
$A+AXm=A+XAm$
$AX=XA$
И дальше непонятно, мы знаем только, что A обратима, и ее определитель равен единице, и что X - целочисленная, как из этого доказать коммуникативность?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #568183 писал(а):

$S_{n,m} = SL_n(Z;mZ)$ - подмножество в $SL_n(Z)$, состоящее из матриц вида $E+Xm$, где $X$ - целочисленная квадратная матрица размера $n$.

Если я правильно понял, эта подгруппа называется конгруэнц-подгруппой по модулю $m$.

Spandei в сообщении #568183 писал(а):

С тем, чтобы доказать нормальность проблемы.

Используйте тот факт, что все нормальные подгруппы являются ядрами гомоморфизмов (т.е. постройте гомоморфизм). Он у Вас даже дан.
А вообще: Каргаполов, Мерзляков Теория групп - я это все отсюда взял

Spandei в сообщении #568183 писал(а):

коммуникативность

коммутативность

[Spandei]

Это гомоморфизм?
Будем отображать $S_{n,m}$ в $SL_n(Z)$ так:
Каждой матрице из $S_{n,m}$ сопоставим матрицу $S_{n,m}-Xm$.
$(E+Xm)(E+Ym)=E+(X+Y+XYm)m$ отображается в $E$
$(E+Xm)$ отображается в $E$, $(E+Ym)$ отображается в $E$.
$E \cdot E = E$. Результат равен, значит это гоморфизм.
Т.к. вся подгруппа $S_{n,m}$ отображается в $E$, она - ядро.

[type2b]

отобразить в единицу можно что угодно, так что это не поможет.
Нормальность очевидна же: нужно показать, что $A(E+mX)A^{-1}=E+mY$ для некоторого $Y\in SL_n(\mathbb{Z})$, что очевидно.

[Sonic86]

Spandei в сообщении #568457 писал(а):

Каждой матрице из $S_{n,m}$ сопоставим матрицу $S_{n,m}-Xm$.

Не. Просто $\binom{a \ b}{c \ d}\to \binom{a\mod m \ b\mod m}{c\mod m \ d\mod m}$.

Spandei в сообщении #568183 писал(а):

С тем, чтобы доказать нормальность проблемы.
Для любой матрицы $A$ в $SL_n(Z)$ должно выполняться:
$A \cdot S_{n,m}=S_{n,m} \cdot A$
Это все равно, что $A(E+Xm)=(E+Xm)A$

Забыл сказать - последнее соотношение - это не нормальность, а центральность. Исправьте соотношение для нормальности - Вам станет легче (см. сообщение type2b)

Spandei в сообщении #568457 писал(а):

Каждой матрице из $S_{n,m}$ сопоставим матрицу $S_{n,m}-Xm$.
$(E+Xm)(E+Ym)=E+(X+Y+XYm)m$ отображается в $E$
$(E+Xm)$ отображается в $E$, $(E+Ym)$ отображается в $E$.
$E \cdot E = E$. Результат равен, значит это гоморфизм.

Можно немного проще рассуждать: $x\to x+m\mathbb{Z}$ - гомоморфизм, а гомоморфизм $\mathbb{Z}$ индуцирует гомоморфизм $SL_2(\mathbb{Z})$

[Spandei]

$A(E+mX)A^{-1}=AA^{-1}+mAXA^{-1}=E+mAXA^{-1}$
матрицы $A, A^{-1}$ - целочисленные, поэтому $AXA^{-1}$ - целочисленная.
Значит, $E+mAXA^{-1} \in S_{n,m}$, и условие нормальности выполнено?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #568509 писал(а):

Значит, $E+mAXA^{-1} \in S_{n,m}$, и условие нормальности выполнено?

Да
С гомоморфизмом у Вас в принципе тоже все вышло, только надо было аккуратнее формулировать.

[Spandei]

А, с гомоморфизмом тоже понял.
Если будем отображать так:

Sonic86 в сообщении #568492 писал(а):

Не. Просто $\binom{a \ b}{c \ d}\to \binom{a\mod m \ b\mod m}{c\mod m \ d\mod m}$

То матрица $Xm$ отобразится в нулевую, т.к. все элементы матрицы $X$, умноженные на $m$ равны нулю по модулю $m$.
Поэтому вся наша подгруппа отобразится в единичный элемент и будет ядром.

-- Пн май 07, 2012 21:33:39 --

А со вторым пунктом
Факторгруппа $SL_n(Z)/S_{n,p}$ состоит из классов
Для каждой матрицы $A$ из $SL_n(Z)$ класс будет выглядеть так:
$\{A+AX_1p,A+AX_2p,...\}$
Нам нужно построить гомоморфизм из этой факторгруппы на $SL_n(Z/pZ)$ и показать, что он является изоморфизмом.
Можно так же брать остаток по модулю p, $AX_1p$ отобразится в 0.
Матрица $A$ будем выглядеть как:
$A' = \begin{pmatrix} a_{11}(\mod p) & a_{12}(\mod p) & \cdots & a_{1n}(\mod p) \\ a_{21}(\mod p) & a_{22}(\mod p) & \cdots & a_{2n}(\mod p) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(\mod p) & a_{n2}(\mod p) & \cdots & a_{nn}(\mod p) \end{pmatrix}$.
Это матрица из $SL_n(Z/pZ)$. И так как элементы класса различаются на слагаемое, которое делится на $p$, весь класс отображается в одну эту матрицу.
Теперь нужно показать, что это изоморфизм, т.е. что между матрицами взаимно однозначное соответствие.
Тут не могу придумать ничего. Это как-то связано с простотой $p$?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #568526 писал(а):

Теперь нужно показать, что это изоморфизм, т.е. что между матрицами взаимно однозначное соответствие.
Тут не могу придумать ничего. Это как-то связано с простотой $p$?

Нет, биекция просто задается: $X\in SL_n(\mathbb{Z}_p)$, грубо говоря, так: $X\to X+S_{n,p}$. Простота будет связана с отсутствием делителей нуля.

[Spandei]

Sonic86 в сообщении #568640 писал(а):

Spandei в сообщении #568526 писал(а):

Теперь нужно показать, что это изоморфизм, т.е. что между матрицами взаимно однозначное соответствие.
Тут не могу придумать ничего. Это как-то связано с простотой $p$?

Нет, биекция просто задается: $X\in SL_n(\mathbb{Z}_p)$, грубо говоря, так: $X\to X+S_{n,p}$. Простота будет связана с отсутствием делителей нуля.

Не понял с биекцией, что имеется в виду под $X\to X+S_{n,p}$ ?

С сюръективностью мне вроде как ясно, в $SL_n(Z)$ у нас все возможные обратимые матрицы с определителем 1 над полем $Z$. Поэтому если мы возьмем по модулю $p$, получим все возможные такие матрицы над полем$Z/pZ.$

[apriv]

Spandei в сообщении #568642 писал(а):

С сюръективностью мне вроде как ясно, в у нас все возможные обратимые матрицы с определителем 1 над полем . Поэтому если мы возьмем по модулю , получим все возможные такие матрицы над полем

Это еще почему? Во-первых, $\mathbb Z$ не поле (но это мелочи), а во-вторых, из сюръективности гомоморфизма колец $R\to S$ никак не следует сюръективность индуцированного отображения на точках $SL_n$.

[Spandei]

В $SL_n(Z)$ входят все обратимые матрицы над $Z/pZ$ с определителем 1 (с числами от 0 до p). А все оставшиеся матрицы, если взять их по модулю, превратятся также в матрицы над $Z/pZ$(определитель останется равен 1, а элементы станут по модулю p).

[Spandei]

Насчет делителей нуля - вижу, что в кольце $Z/pZ$ при простом $p$:
$\forall a \in Z/pZ \not \exists b \not=pn(n \in Z):ab=0 (\mod p)$
Матрица $A'$ в $SL_n(Z/pZ)$ тогда будет получаться только из матриц вида:
$A+pY$, где Y - целочисленная.
Это можно представить как:
$A+AA^{-1}Yp$
А такая матрица попадает в тот же класс, что и $A$.
То есть все матрицы, из которых получается $A'$ состоят в одном и том же классе.
То есть у матрицы $A'$ единственный прообраз-класс, содержащий матрицу $A$.
То есть гомоморфизм инъективен.

[apriv]

Spandei в сообщении #568814 писал(а):

В $SL_n(Z)$ входят все обратимые матрицы над $Z/pZ$ с определителем 1 (с числами от 0 до p).

Нет, не входят. Матрица $\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 5\end{pmatrix}$, например, не лежит в $SL_n(\mathbb Z)$, однако она обратима, если рассмотреть ее как матрицу над $\mathbb Z/7\mathbb Z$. У нее определитель равен 1 по модулю 7, но не равен 1 на самом деле.

[Spandei]

Вижу, что неправ, спасибо.
А как можно иначе доказать?