Синус тополога, локальная связность

[JMH]

В книге Mukres, Topology встретилось утверждение: кривая синуса тополога связна но не локально связна. (На всякий случай: синус тополога - замыкание кривой $S=\{x\sin\frac{1}{x}|0<x\leq 1\}$, т.е. $\overline{S}=S\cup\{0\times[-1,1]\}$).

Либо утверждение ошибочно, либо (скорее) я чего-то не понимаю. Множество $\overline{S}$ связно но не линейно свяно, это понятно. Но как связное множество может быть не локально связным? Если множество нельзя разбить на два или более открытых множеств, то как можно разбить так произвольное открытое множество, содержащееся в данном?

Спасибо.

[apriv]

JMH в сообщении #566041 писал(а):

Если множество нельзя разбить на два или более открытых множеств, то как можно разбить так произвольное открытое множество, содержащееся в данном?

Легко. Возьмите график обычного синуса: множество точек вида $(x,\sin(x))$. Он связен. Посмотрите на открытое множество — пересечение этого графика с полосой $|y|\leq 1/2$. Оно распадается на кучу компонент связности.

[JMH]

Да, я точно чего-то сильно не понимаю: в Вашем примере синусоида распадается на кучу связных компонент; при этом любая точка получившегося множества имеет связную окрестность, принадлежащую множеству, т.е. Ваше множество является несвязным, но локально связным - пример, противоположный обсуждаемому.

[apriv]

JMH в сообщении #566050 писал(а):

Да, я точно чего-то сильно не понимаю: в Вашем примере синусоида распадается на кучу связных компонент; при этом любая точка получившегося множества имеет связную окрестность, принадлежащую множеству, т.е. Ваше множество является несвязным, но локально связным - пример, противоположный обсуждаемому.

А я и не говорил, что это пример локально несвязного множества. Это был ответ на вопрос «Если множество нельзя разбить на два или более открытых множеств, то как можно разбить так произвольное открытое множество, содержащееся в данном?». Теперь посмотрите на маленькую окрестность точки на отрезке $0\times [-1,1]$ в Вашем примере — в ней Вы увидите такие же кусочки синусоиды в качестве компонент связности.

[JMH]

Ааааа... произвольная окрестность нуля, не включающая точки (0,-1) и (0,1) содержит произвольное колличество компонент множества. Так?

[Someone]

JMH в сообщении #566041 писал(а):

$S=\{x\sin\frac{1}{x}|0<x\leq 1\}$, т.е. $\overline{S}=S\cup\{0\times[-1,1]\}$).

Тут, наверное, множитель $x$ лишний. С ним получается локально связное множество, гомеоморфное букве "Т".

[JMH]

Someone в сообщении #566114 писал(а):

Тут, наверное, множитель $x$ лишний. С ним получается локально связное множество, гомеоморфное букве "Т".

Это моя вина - должно было быть декартово произведение $S=\{x\times\sin\frac{1}{x}|0<x\leq 1\}$.