Непростая задача по геометрии

[integral2009]

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Полагаю, что лучше нарисовать.. Подойдет вот такой рисунок? С чего начать решение, если рисунок - правильный?

[Алексей К.]

Я бы в маленькую окружность вписал равнобедренный треугольник с боковой стороной $x$, потом это дело симметрично отразил бы, чтобы ромб получился, и сосчитал бы радиус получающейся большой окружности. И уравнение: $R(x)=4$.
Это чисто доверившись Вашему чертежу.

[integral2009]

Алексей К. в сообщении #564280 писал(а):

Я бы в маленькую окружность вписал равнобедренный треугольник с боковой стороной $x$, потом это дело симметрично отразил бы, чтобы ромб получился, и сосчитал бы радиус получающейся большой окружности. И уравнение: $R(x)=4$.
Это чисто доверившись Вашему чертежу.

А ведь еще не факт, что будет равносторонний треугольник вписан, вот равнобедренный - точно, но откуда мы узнали, что одна из диагоналей ромба равна его стороне? Это вы на глаз? Но ведь не факт, что будет именно так, можно нарисовать по-другому...

[Батороев]

Обозначьте половины диагоналией ромба через $b, c$ и подставьте в формулу площади вписанного треугольника (для каждой из окружностей). Получите соотношение диагоналей ромба. Далее "включите" тригонометрию.

[Алексей К.]

integral2009 в сообщении #564375 писал(а):

А ведь еще не факт, что будет равносторонний треугольник вписан, вот равнобедренный - точно

Алексей К. в сообщении #564280 писал(а):

Я бы в маленькую окружность вписал равнобедренный треугольник с боковой стороной $x$,

-- 27 апр 2012, 13:35:53 --

Если у Вас на рисунке равносторонний, то я этого не заметил, считая его равнобедренным.

[hippie]

integral2009 в сообщении #564271 писал(а):

С чего начать решение, если рисунок - правильный?

Для начала заметить, что прямоугольные треугольники $ABP$ и $QAB$ подобны, причём $AP=8,\ \ BQ=6.$

[integral2009]

Спасибо. Если они подобны, то $\dfrac{AB}{PB}=\dfrac{BQ}{AP}=\dfrac{3}{4}=0,75$

По теореме Пифагора $PB=10$, тогда $AB=0,75\cdot 10=7,5$

Таким образом - сторона ромба равна $7,5$.

Но мне не удалось доказать подобие.

Да, в треугольниках есть 2 прямых угла, но больше ничего не удалось найти для подобия... Что же еще есть. Еще один угол или еще 2 стороны?

-- Пт апр 27, 2012 22:17:19 --

Уже понятно про подобие!

[Батороев]

integral2009 в сообщении #564692 писал(а):

Таким образом - сторона ромба равна $7,5$.

Ответ неверный.

[EtCetera]

Кстати, ответ (в буквах) очень красивый получается. Интересно, есть ли красивое решение?

[hippie]

integral2009 в сообщении #564692 писал(а):

По теореме Пифагора $PB=10$

А каким образом катет ($PB=10$) треугольника $ABP$ оказался длиннее гипотенузы ($AP=8$)???

EtCetera в сообщении #564858 писал(а):

Интересно, есть ли красивое решение?

Из подобия треугольников ответ выводится в 2–3 строчки.

[ewert]

integral2009 в сообщении #564692 писал(а):

Но мне не удалось доказать подобие.

Углы $APB$ и $ABQ$ опираются на одинаковые дуги.

EtCetera в сообщении #564858 писал(а):

есть ли красивое решение?

$|AP|=d_1,\ \ |BQ|=d_2;\ \ \ \ |AB|=x,\ \ |AQ|=y;$

$\begin{cases}\dfrac{x}{d_1}=\dfrac{y}{d_2}, \\ x^2+y^2=d_2^2;\end{cases}$

$x=\dfrac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$

[EtCetera]

hippie, ewert, спасибо! Действительно, просто получается. Интересная и красивая задача.