2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение17.04.2012, 20:17 
Аватара пользователя
Всё равно лучше не ходить. Из неравенства $a^2-\frac{4}{a}\leqslant 3\sqrt[3]{4}$ всё прозрачно. $a=1\vee a=2$

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение17.04.2012, 20:17 
Если $a\ge 3$ то

$( a^3-4)^3 - 4 \cdot 27 a^3 \ge (3^3-4)^2(a^3-4) - 108a^3 = 23^2(a^3-4)-108a^3=421a^3-2116 > 421\cdot 10-2116 > 0$

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение17.04.2012, 20:20 
Аватара пользователя
bot в сообщении #561225 писал(а):
А это он ошибся.


да, оплошал

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение17.04.2012, 20:20 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #561229 писал(а):
Как вы получили эти неравенства?

Не эти а это. Элементарно из Вашего предпоследнего (его кстати можно и проще получить) - перенос, извлечение куба и умножение на 3.

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение17.04.2012, 20:31 
bot в сообщении #561235 писал(а):
Keter в сообщении #561229 писал(а):
Как вы получили эти неравенства?

Не эти а это. Элементарно из Вашего предпоследнего (его кстати можно и проще получить) - перенос, извлечение куба и умножение на 3.


Ага, теперь понял. Да... я протормозил. Ну теперь просто остаётся подставить значения $a$ (кстати производная то не подкачала, значения теже) в формулу
$x = -1 \pm \sqrt{4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a}\Bigg)^3}$ и получить искомые $x$.

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение18.04.2012, 01:43 
Аватара пользователя
Пришло в голову простое решение.

Рассмотрим равенства
Keter в сообщении #561191 писал(а):
$\sqrt[3]{3+x} + \sqrt[3]{1-x} = a$

Keter в сообщении #561191 писал(а):
$3a \sqrt[3]{(3+x)(1-x)}+4 = a^3$


Ясно, что числа $\sqrt[3]{3+x}$ и $\sqrt[3]{1-x}$ являются корнями уравнения
$$
t^2-at+\frac{a^3-4}{3a}=0,
$$
условие разрешимости которого
$$
a^2\ge 4\frac{a^3-4}{3a},
$$
откуда
$$
0<a^3\le 16,
$$
поэтому $a\in\{1,2\}$

 
 
 
 Re: Выражение в области целых чисел
Сообщение18.04.2012, 23:40 
alcoholist в сообщении #561337 писал(а):
Ясно, что числа $\sqrt[3]{3+x}$ и $\sqrt[3]{1-x}$ являются корнями уравнения
$$
t^2-at+\frac{a^3-4}{3a}=0,
$$


Действительно. Это как бы по теореме Виета. И вправду отличное простое решение :-)

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group