Выражение в области целых чисел

[Keter]

Найти все действительные значения $x$ при которых

$\sqrt[3]{3+x} + \sqrt[3]{1-x}$

является целым числом.

Решение

Пусть $\sqrt[3]{3+x} + \sqrt[3]{1-x} = a, a \in \mathbb{Z}$.
Очевидно, что $\forall x \in \mathbb{R}$ данное выражение принимает только положительные значения.
То есть $a \in \mathbb{Z}_{+}$.

$\sqrt[3]{3+x} + \sqrt[3]{1-x} = a$

$\bigg( \sqrt[3]{3+x} + \sqrt[3]{1-x} \bigg)^3 = a^3$

$3+x+1-x+3\sqrt[3]{(3+x)^2 (1-x)}+3\sqrt[3]{(3+x) (1-x)^2} = a^3$

$4+3\sqrt[3]{(3+x)(1-x)} \bigg( \sqrt[3]{3+x}+\sqrt[3]{1-x} \bigg) = a^3$

$3a \sqrt[3]{(3+x)(1-x)}+4 = a^3$

$(3+x)(1-x) = \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3$

$x^2+2x-3+\Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 = 0$

$\mathfrak{D} = k^2 - lc = 4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3,$

где $k=1; l=1; c=-3+\Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3$.

Чтобы узнать какие значения может принимать $a$ решим систему:

$\begin{cases} 4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 \geqslant 0, \\ a \in \mathbb{Z}_{+}. \end{cases}$

$ 4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 \geqslant 0$

$ - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 \geqslant -4$

$\Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 -4 \leqslant 0$

Так как $a \in \mathbb{Z}_{+}$, то решение полученного неравенства равносильно решению неравенства

$\bigg( a^3-4 \bigg)^3 - 4 \cdot 27 a^3 \leqslant 0$

Собственно, прошу помощи с его решением.

[alcoholist]

в это

Keter в сообщении #561191 писал(а):

$x^2+2x-3+\Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 = 0$

$\mathfrak{D} = k^2 - ac = 4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3.$

не верится

Еще заметим, что $a>1$

[Keter]

alcoholist в сообщении #561201 писал(а):

в это

Keter в сообщении #561191 писал(а):

$x^2+2x-3+\Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3 = 0$

$\mathfrak{D} = k^2 - ac = 4 - \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3.$

не верится

Еще заметим, что $a>1$

Во что конкретно не верится. Если Вы про $\mathfrak{D} = k^2 - ac $, то здесь нужно $a$ переиначить на другую букву, скажем $l$.
А то, что $a>0$ и так не однократно написано "$a \in \mathbb{Z}_{+}$".

[alcoholist]

Keter в сообщении #561204 писал(а):

Если Вы про $\mathfrak{D} = k^2 - ac $

чему у Вас $c$ равно?

[Keter]

alcoholist в сообщении #561205 писал(а):

Keter в сообщении #561204 писал(а):

Если Вы про $\mathfrak{D} = k^2 - ac $

чему у Вас $c$ равно?

$c = -3+ \Bigg( \frac{a^3-4}{3a} \Bigg)^3$

[alcoholist]

тьфу, Вы половинку считали:)

но суть по любому в том, что

$$ 1<a^3\le 3\cdot 4^{1/3}a+4 $$

таких чисел совсем немного -- их просто нужно перебором найти

[venco]

alcoholist в сообщении #561201 писал(а):

Еще заметим, что $a>1$

Почему?
$a=1$ вполне подходит.

[Keter]

alcoholist в сообщении #561212 писал(а):

тьфу, Вы половинку считали:)

но суть по любому в том, что

$$ 1<a^3\le 3\cdot 4^{1/3}a+4 $$

таких чисел совсем немного -- их просто нужно перебором найти

А кроме перебора, если найти производную функции, то она принимает положительные значения при $a \in (0; \sqrt[3]{10} ]$.
Если всё правильно, то должно с перебором совпасть, т.е. $a=\{1; 2 \}$. Хотя задача для 10 класса и производная там ни к чему.

-- 17.04.2012, 19:03 --

venco в сообщении #561214 писал(а):

alcoholist в сообщении #561201 писал(а):

Еще заметим, что $a>1$

Почему?
$a=1$ вполне подходит.

Согласен

alcoholist а почему Вы посчитали, что $a>1$?

[alcoholist]

не нужно производных

из очевидных неравенств

$$ 3a+4<3\cdot 4^{1/3}a+4<6a+4 $$

следует, что $a=2$ годится, и что $a\ge 4$ не годится

остается руками разобрать случай $a=3$

[bot]

Переход к последнему неравенству верен только при положительных $a$. Лучше сюда и не ходить. Из предпоследнего очевидно, что значений $a$ может быть раз, два и обчёлся.
Для ещё большей очевидности запишите его в виде $a^2-\frac{4}{a}\leqslant 3\sqrt[3]{4}$

[venco]

Keter в сообщении #561191 писал(а):

$\bigg( a^3-4 \bigg)^3 - 4 \cdot 27 a^3 \leqslant 0$

Если $a\ge 3$ то $\bigg( a^3-4 \bigg)^3 - 4 \cdot 27 a^3 \ge 23^2(a^3-4)-108a^3=421a^3-2116 > 0$

[Keter]

Мне эти неравенства не очевидны.

[bot]

Keter в сообщении #561215 писал(а):

а почему Вы посчитали, что $a>1$?

А это он ошибся.

[alcoholist]

bot в сообщении #561220 писал(а):

Переход к последнему неравенству верен только при положительных $a$

мы знаем, что $a$ положительно

[Keter]

alcoholist в сообщении #561219 писал(а):

$3a+4<3\cdot 4^{1/3}a+4<6a+4$

venco в сообщении #561222 писал(а):

$\bigg( a^3-4 \bigg)^3 - 4 \cdot 27 a^3 \ge 23^2(a^3-4)-108a^3=421a^3-2116 > 0$

bot в сообщении #561220 писал(а):

$a^2-\frac{4}{a}\leqslant 3\sqrt[3]{4}$

Как вы получили эти неравенства?