Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)

[Arcanine]

ewert в сообщении #557100 писал(а):

Dave в сообщении #557098 писал(а):

Теорему о среднем можно "прикрутить" ко второму интегралу:

Беда лишь в том, что её туда вовсе ни к чему прикручивать: подынтегральная функция там тупо ограниченна.

А как показать тот факт, что она ограничена?

[mihiv]

Еще раз теорема о среднем:

$$\int \limits _x^{x^2}\frac {dt}{\ln t}=\int \limits _x^{x^2}\frac {tdt}{t\ln t}=\xi (x)\int \limits _x^{x^2}\frac {dt}{t\ln t}=\xi(x)\ln 2,\xi (x)\in [x,x^2]$$

отсюда $\lim \limits _{x\to 1}\xi(x)\ln 2=\ln 2$

[Arcanine]

mihiv Спасибо. А куды t из числителя девается?

[mihiv]

Оно превращается в $\xi (x)$,т.е. $\xi (x)$-это среднее значение функции $t$,стоящей в числителе.

[V.V.]

Первая задача замечательна! Она где-нибудь, кроме этой олимпиады, использовалась?

[nnosipov]

V.V. в сообщении #561271 писал(а):

Она где-нибудь, кроме этой олимпиады, использовалась?

Идея хорошо известна, см. задачу 28.9 в "Сборнике задач по алгебре" под ред. Кострикина.