ход решения суммы последовательности

[DaschaM]

Здравствуйте, помогите разобраться с суммой последовательности:
$\sum\limits_{k=n}^{2n} 2k-1 $
Конечный ответ известен, непонятен алгоритм решения, ничего подобного мы не решали.

[gris]

Двойку можно вынести за скобку, от одной второй легко избавиться. Потом представьте сумму как разность двух сумм от единички. И вспомните формулу.

[alcoholist]

используйте формулу для суммы арифметической прогрессии

ведь $2n-1$, $2(n+1)-1$, $\ldots$, $2(n+n)-1$ -- арифметическая прогрессия, да?

[DaschaM]

Получилось дойти до ответа, используя изменённую формулу арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)(n+1)}{2}$
Она во всех случаях справедлива или только в этом?

[Maslov]

DaschaM в сообщении #558349 писал(а):

Получилось дойти до ответа, используя изменённую формулу арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)(n+1)}{2}$
Она во всех случаях справедлива или только в этом?

Она почти ни в каких случаях не справедлива, в том числе, и в этом.

[DaschaM]

Хм, ну допустим мы упростили выражение, и как тогда звучит эта формула для последовательности? Подставлять нужно $a_1=n$ и $a_n=2n$ ?

[Maslov]

Так чему для данной прогрессии равны первый член, последний член и количество членов, выраженные через $n$?

[DaschaM]

$n$,$2n$ и $2n-1$

[alcoholist]

DaschaM в сообщении #558396 писал(а):

$n$,$2n$ и $2n-1$

??????????

-- Пн апр 09, 2012 18:18:33 --

alcoholist в сообщении #558320 писал(а):

$2n-1$, $2(n+1)-1$, $\ldots$, $2(n+n)-1$ -- арифметическая прогрессия, да?

[DaschaM]

Если подставлять в $S_n=\frac {(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(n+2n)(2n-1)}{2}=3n^2-3/2n$, что не сходится с ответом: $3n^2+2n-1$

[Maslov]

Да, все непросто.

Вот я смотрю на прогрессию, написанную alcoholist'ом, и вижу первый член, равный $2n - 1$.

Откуда Вы взяли $n$?

[alcoholist]

DaschaM в сообщении #558411 писал(а):

Если подставлять в $S_n=\frac {(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(n+2n)(2n-1)}{2}=3n^2-3/2n$, что не сходится с ответом: $3n^2+2n-1$

не то "подставляете"

Maslov в сообщении #558392 писал(а):

Так чему для данной прогрессии равны первый член, последний член и количество членов, выраженные через $n$?

[DaschaM]

Всё, разобралась, спасибо )
За количество членов всегда в арифметической нужно брать $n+1$?

[Maslov]

DaschaM в сообщении #558440 писал(а):

За количество членов всегда в арифметической нужно брать $n+1$?

Нет, за количество членов арифметической прогрессии всегда надо брать количество членов арифметической прогрессии.

Например, в прогрессии 1, 3, 5 за количество членов надо брать 3, а вовсе никакое не n+1.

Судя по всему, Вас смущает, что одна и та же буковка $n$ употребляется в общей формуле суммы арифметической прогрессии и в Вашей конкретной задаче (причем в разных значениях).

В записи формулы для суммы арифметической прогрессии можно использовать любую другу букву, например, $m$:

$S_m = \dfrac {(a_1 + a_m) m} 2$

Тогда для Вашей конкретной задачи получим:
$a_1 = 2n-1$
$a_m = 4n - 1$
$m = n + 1$

[DaschaM]

Цитата:

=Тогда для Вашей конкретной задачи получим:
$a_1 = 2n-1$
$a_m = 4n - 1$
$m = n + 1$

Да, с этим всё понятно. Тогда как определить количество членов арифметической прогрессии в этой последовательности?