О конструктивизме при преподавании математики.

[LaTeXScience]

Munin в сообщении #557892 писал(а):

Математика больше, чем язык.

Теории описываются грамматиками. Что в математике есть кроме теорий? (Всякие околоматематические философствования к математике не причисляем).

[ewert]

apriv в сообщении #557913 писал(а):

Конечно, до этого нужно в деталях узнать, что такое фильтры и какими свойствами обладают окрестности.

Этого никто так и не узнает. Для того, чтобы что-то понять, нужна мотивация. Т.е. нужны конкретные примеры. Изучать абстрактные конструкции, не имея ни малейшего представления о том, зачем бы они могли понадобиться хоть в принципе -- никто не в состоянии.

[LaTeXScience]

Padawan в сообщении #557902 писал(а):

И на выходе получится математический инвалид.

Это все пустые слова, пока не будут проведены эксперименты: берем две группы студентов, обучаем их по соответствующим программам и сравниваем результаты.

[apriv]

Padawan в сообщении #557914 писал(а):

Как вы будете доказывать, что предел произведения равен произведению пределов?

Это немедленно следует из того, что умножение $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывно, что нетрудно доказать прямой проверкой.

Padawan в сообщении #557914 писал(а):

Теоремы Вейрштрасса, Больцано-Коши о непрерывных функциях на отрезке как будете доказывать?

Теорема Больцано—Коши — это утверждение, что образ связного множества связен (ну, плюс полнота $\mathbb R$). Теорем Вейерштрасса на свете много. Вы имеет в виду тот факт, что отрезок компактен?

Padawan в сообщении #557914 писал(а):

Замечу, что по алгебре Вы таких экстремистких высказываний не делаете, потому, что, вероятно, понимаете, что на что опирается.

Замечу, что программа курса алгебры отстала от современности на 80 лет, а курса матанализа — на 200 лет. То, что Вы называете «экстремизмом», в курсах алгебры в целом вошло в мэйнстрим.

-- 08.04.2012, 15:28 --

ewert в сообщении #557922 писал(а):

Для того, чтобы что-то понять, нужна мотивация. Т.е. нужны конкретные примеры.

Я уже говорил о том, что первая глава при таком подходе состоит в демонстрации всех этих понятий и определений на вещественной прямой. Кто Вам сказал, что в этом изложении не будет конкретных примеров? Конечно, после каждого определения должен быть десяток примеров.

[Padawan]

apriv в сообщении #557932 писал(а):

Padawan в сообщении #557914 писал(а):

Как вы будете доказывать, что предел произведения равен произведению пределов?

Это немедленно следует из того, что умножение $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывно, что нетрудно доказать прямой проверкой.

Докажите.
upd Ладно, можете не доказывать. Две строчки.

Цитата:

Теорема Больцано—Коши — это утверждение, что образ связного множества связен (ну, плюс полнота ).

Хорошо. Тогда докажите, что отрезок есть связное пространство :)

upd А это все-таки докажите.

-- Вс апр 08, 2012 16:39:06 --

Цитата:

То, что Вы называете «экстремизмом», в курсах алгебры в целом вошло в мэйнстрим.

Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

[ewert]

Padawan в сообщении #557937 писал(а):

Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

Потому, что линейная алгебра отстала от жизни лет на 200. Она в ближайших приложениях нужна для поиска экстремумов ФНП и решения линейных систем ДУ, а там, конечно, нужны именно кольца над модулями, но никак не линейные пространства. Изучать же аналитическую геометрию и вовсе нелепо. Ну скажите, зачем рисовать нормаль к плоскости, если достаточно нарисовать кольцо и взять его по модулю!

-- Вс апр 08, 2012 15:55:56 --

apriv в сообщении #557932 писал(а):

Я уже говорил о том, что первая глава при таком подходе состоит в демонстрации всех этих понятий и определений на вещественной прямой.

Дело в том, что это преждевременно. В школе пределов вообще нет, и даже язык эпсилон-дельт и/или окрестностей для бывшего школьника -- это уже некоторый шок. Требуется определённое время, чтобы он просто привык к новому понятийному аппарату, а для этого нужно, чтобы он мог пощупать его пальчиками на привычном материале.

[Munin]

LaTeXScience в сообщении #557920 писал(а):

Теории описываются грамматиками. Что в математике есть кроме теорий?

То, что теории описываются грамматиками, не означает, что они и есть грамматики. В теориях возможно проводить вычисления.

[apriv]

Padawan в сообщении #557937 писал(а):

Хорошо. Тогда докажите, что отрезок есть связное пространство :)

Уииии, мы возвращаемся на первый курс. Только зачем? Предположим, что есть непрерывное непостоянное отображение $f\colon [a,b]\to \{0,1\}$. Пусть для определенности есть $x,y\in[a,b]$ такие, что $x<y$ и $f(x)=0$. Рассмотрим $s=\sup\{z\mid x\leq z\leq y, f(z)=0\}$. Из непрерывности $f$ следует, что $f(s)=0$, а если $s<y$, то получаем противоречие из непрерывности в точке $s$. Значит, $f(y)=0$.

Padawan в сообщении #557937 писал(а):

Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

Мы изучали модули над кольцами, и теорему о жордановой форме выводили из структурной теории для модулей над кольцами главных идеалов.

ewert в сообщении #557943 писал(а):

Изучать же аналитическую геометрию и вовсе нелепо.

Совершенно верно, при наличии курсов линейной алгебры и коммутативной алгебры изучать «аналитическую геометрию» совершенно нелепо.

[LaTeXScience]

Munin в сообщении #557947 писал(а):

То, что теории описываются грамматиками, не означает, что они и есть грамматики.

Теория -- это формальная система. Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.

Munin в сообщении #557947 писал(а):

В теориях возможно проводить вычисления.

??? Это к чему было сказано? Я не понял. Какие еще вычисления?

[apriv]

LaTeXScience в сообщении #557961 писал(а):

Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.

Математика не занимается выводом одних формул из других по формальным правилам. Откройте любую математическую статью — с вероятностью, близкой к 1, Вы не найдете в ней формального вывода одних утверждений из других.

[LaTeXScience]

apriv в сообщении #557964 писал(а):

Математика не занимается выводом одних формул из других по формальным правилам.

То, каким образом математик придумал там чего-то, к самой математике никакого отношения не имеет. Эти феномены пусть изучает когнитивистика.

apriv в сообщении #557964 писал(а):

Откройте любую математическую статью — с вероятностью, близкой к 1, Вы не найдете в ней формального вывода одних утверждений из других.

Подразумевается, что их можно проделать, если понадобится.

[zbl]

LaTeXScience в сообщении #557811 писал(а):

zbl в сообщении #557294 писал(а):

Сопроцессора.
И это особенно делает рельефным его сходство с алгоритмами составления пятизначных таблиц?
Не старайтесь превзойти самого себя.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lookup_table
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug

LaTeXScience, Вы к той ли моей цитате это написали, что хотели?
Здесь я уточнил, что FPU, а не CPU, а потом заметил, что собеседник превосходит сам себя, выдирая до абсурда несущественную деталь (программно или аппаратно реализован алгоритм) и потом раздувая её до вселенского масштаба.
Может, Вы хотели эти ссылки написать к тому, как я говорил "не стану рассказывать, как вычисляется синус"?
Речь о специфичных приёмах составления таблиц, которые опираются на то, что заполнять их можно в удобном нам порядке, а точность мала и фиксирована.
Компьютеру же приходится уметь вычислять любое значение и с большой точностью.
Если Вам пример с таблицами кажется неудачным, то я могу привести мильён ещё других: подсчёт значности для логарифмической линейки; формулы умножения до изобретения логарифмов; в древности до изобретения алгебры формулы рисовали в виде картинок -- приёмы рисования этих картинок; Ньютон пользовался так называемым синтетико-геометрическим методом, который Эйлер заменил координатами и уравнениями в частных производных.
Кстати говоря, диаграммы Феймана -- это как раз способ, рисуя, выполнять алгебраические преобразования.
Но приёмы рисования картинок вместо того, чтобы обозначать числа буквами, преподавать сейчас никто не станет.
Вот идеи вечны, а специфические приёмы часто полностью вымирают.
Проблема отличать усопший уже приём от хорошего примера, иллюстрирующего важную идею...

[LaTeXScience]

zbl
Я к тому привел эти ссылки, чтобы показать Вам как на самом деле вычисляется синус: http://en.wikipedia.org/wiki/Lookup_tab ... ting_sines

[zbl]

Munin в сообщении #557705 писал(а):

Элементарно, Ватсон. Есть разные специалисты. Одни пишут системы, которые решают дифуры, другие ими пользуются. Каждым нужно преподавать своё. То, что вторым что-то будет "учить не нужно", не значит, что оно устарело, поскольку останется в программе для первых. Сдвиг спроса на специалистов с одним и другим набором скиллов не отменяет существования ни первых, ни вторых.

Есть вещи, которые умирают совсем -- их преподавать не нужно.
Не нужно учить пользоваться логарифмической линейкой -- не нужно даже, чтобы дети знали, что такой прибор когда-то был (в курсе истории разве только).
Так вот как отличить то, что умерло и преподавать уже не нужно его, от того, что только не используется никем уже, но в себе содержит важные идеи и что учить всё ещё нужно?
Принцип-то какой?

[Munin]

LaTeXScience в сообщении #557961 писал(а):

Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.

Хорошо, в таких терминах "грамматика (исчисление)" - это уже "больше чем язык".

LaTeXScience в сообщении #557967 писал(а):

То, каким образом математик придумал там чего-то, к самой математике никакого отношения не имеет. Эти феномены пусть изучает когнитивистика.

Вы ещё созреете и откажетесь от этого экстремизма...