Общий случай релятивистского движения.

[С.Мальцев]

Представим, что произошла серия распадов покоящихся относительно лабораторной ИСО одинаковых частиц на две частицы равной массы $m_1=m_2$. В таком случае, концы импульсов $p$ движущихся частиц улягутся на поверхность сферы $r=p$. Зная массу и импульс частицы (при $c=1$), согласно $E=\sqrt{m^2+p^2}$ находим ее энергию, откуда находим скорость $w= \sqrt{1- \frac {m^2} {E^2}}$ относительно лабораторной ИСО. Подставив условные значения для частиц $m=1,\, p=1{,}(3)$, находим энергию $E=1{,}(6)$ и скорость частиц $w=0{,}8$, а также, согласно формуле $ m=E= E_1+E_2$, находим массу покоящейся распавшейся частицы $m=3{,}(3)$.

Если происходит серия распадов таких же частиц, движущихся относительно лабораторной ИСО со скоростью $v$, то в соответствии с законами сохранения энергии и импульса, концы импульсов частиц с равными массами, образующихся в результате распадов под различными углами, укладываются на эллипсоид вращения, у которого малая полуось $b=p$, большая полуось $a=\tfrac p {\sqrt{1-v^2}}$, центр которой сдвинут в соответствии с $OO'=\tfrac {vE}{\sqrt{1-v^2}}$ в направлении вектора скорости $v$ распавшейся частицы (см. рис. 1.2), где $p,\, E$ – импульс и энергия частицы, образовавшейся в результате распада покоящейся относительно лабораторной ИСО частицы.

Поскольку импульс определяет масса и скорость $p= \tfrac {um}{\sqrt{1-u^2}}$, импульс $p'$ каждой частицы можно вычислить с помощью формулы релятивистского сложения скоростей для общего случая, рассчитав сначала скорость и угол движения каждой из частиц (см. рис 1.1):

$$u=\frac {\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(vw\sin\alpha\right)^2}}{1+vw\cos\alpha}\,\, \egno{(1)}$$

и

$$\cos\gamma=\frac{w\cos\alpha+v} {\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(vw\sin\alpha\right)^2}}\,\,\egno{(2)}$$

(см. рис 1.1) а затем уже, вычислить импульс $p'$ для каждой частицы (см. рис 1.2). На рисунках отображены скорости и импульсы частиц при распадах под различными углами относительно направления движения распавшейся частицы с шагом 30°:

На рис. 1.1 красными линиями отображены вектора скоростей частиц относительно лабораторной ИСО, синими линиями отображены вектора скоростей частиц в сопутствующей ИСО', наблюдаемые из лабораторной ИСО.

В силу Лоренцева сокращения, углы движения частиц в сопутствующей ИСО' отличаются от углов, наблюдаемых из лабораторной ИСО, кроме углов 0°, 90° и 180°:

С помощью формул:

$$ \cos\alpha\,'= \frac{ \cos\alpha \sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1-(v\cos\alpha) ^2}}\,\,\egno{(3)}$$

(обратная формула):

$$ \cos\alpha= \frac{ \cos\alpha\,'}{\sqrt{1-(v\sin\alpha\,') ^2}}\,\,\egno{(4)}$$

производим перерасчет углов. Например, если в сопутствующей ИСО' угол движения частицы составляет $\cos\alpha=0{,}5$, то при скорости $v=0{,}8$ наблюдаемый из лабораторной ИСО тот же угол составляет $\cos\alpha\,'=0{,}327$. С помощью формул (1) и (2) находим скорость $u=0{,}962$ и угол $\gamma=0{,}945$ движения относительно лабораторной ИСО. Очевидно, что и в собственной ИСО'' частицы, угол движения $\cos\beta$ относительно сопутствующей ИСО' тоже отличается от наблюдаемого из лабораторной ИСО:

$$ \cos\beta=-\frac{v\cos\gamma-u}{w-vuw\cos\gamma}\,\,\egno{(5)}$$

Теперь представим, что частица массой $m=3{,}(3)$ движется относительно лабораторной ИСО со скоростью $v=u=0{,}962$ и распадается под углом $\cos\beta=0{,}945$ на две частицы массой $ m_1=m_2=1$. В таком случае, логично предположить, что одна из частиц, движущаяся под обратным углом $180^{\circ}-\beta$, при противоположно направленном импульсе должна «остановиться» относительно сопутствующей ИСО', движущейся со скоростью $v=0{,}8$.

Расчеты показывают, что действительно, при таком распаде угол движения частицы $\gamma=0{,}945$, ее импульс $p'=1{,}(3)$ и скорость $u=0{,}8$ относительно лабораторной ИСО соответствуют предполагаемым (импульс отображен синей линией на оси $x$):

Если представить, что движутся не частицы, а космический корабль (ИСО') со скоростью $v$, а относительно него движется космический аппарат (ИСО'') со скоростью $w$, то при противоположно направленных равных импульсах (в силу их симметричности), КА должен сначала ускориться, затем остановиться относительно ИСО', затем ускориться в противоположном направлении и остановиться у КК. Несмотря на различные скорости и различные углы движения относительно покоящейся лабораторной ИСО.


P.S. Предваряя сакраментальный вопрос, типа:

EvilPhysicist в сообщении #548615 писал(а):

что вы делаете и зачем

отвечу – стараюсь показать, что рассмотрение релятивистского движения в общем виде вполне возможно в 3х-мерном пространстве, при этом открываются куда большие возможности, чем при рассмотрении движения по одной-единственной оси на стандартных ПВД.

[Munin]

Предлагаю все подобные темы от С.Мальцев-а сразу отправлять в "Пургаторий", а за создание новых таких тем пригрозить баном.

Ему уже всё объяснили. Его настойчивые занудства в "Пургаторий" уже отправлены. Последний человек, который выдерживал с ним диалог, Someone, махнул на него рукой. Всё, на этой поляне больше собирать нечего.

-- 07.04.2012 19:28:16 --

С.Мальцев в сообщении #557560 писал(а):

отвечу – стараюсь показать, что рассмотрение релятивистского движения в общем виде вполне возможно в 3х-мерном пространстве, при этом открываются куда большие возможности, чем при рассмотрении движения по одной-единственной оси на стандартных ПВД.

(Пояснение для независимых читателей темы)
Рассмотрение релятивистского движения в общем виде гораздо удобнее в 4-мерном пространстве-времени, при этом открываются куда большие возможности, чем в 3-мерном пространстве, а С.Мальцев ничего не понял в пространственно-временных диаграммах (которые он называет "ПВД"), и ошибочно думает, что они не могут отображать больше одной пространственной оси. Примеры с одной осью, на самом деле, только самые начальные и учебные, а в работе используется полное 4-мерное представление, отображаемое на графиках в разных проекциях, например, как на пространственные и временные оси, так и только на пространственные (только такие рисунки и умеет рисовать С.Мальцев, причём толком не умея с ними работать, и не понимая смысла), и не только такие.