Верёвка на столе

[Omega]

Всем привет! Помогите вот с такой задачкой.Я точно не помню условия, но оно примерно такое:
На столе высотой $H$ лежит половина верёвки.Другая её половина свисает. Известно, что вся верёвка имеет массу $m$ и длину $l (H \gg l)$; также её плотность равномерна по всей длине и между столом и верёвкой нет трения.За какое время $\tau$ вся верёвка упадёт на землю?
Думаю первым делом необходимо найти время $t_{1}$ за которое верёвка полностью сползёт со стола.Далее, остальное время $t_{2} (t_{1}+t_{2}=\tau)$ найдем примерно так:
Скорость, которую будет иметь верёвка в момент,когда она оторвётся от стола найдём по ЗСЭ: $\frac {mg(H-l/4)}{2}+\frac {mgH}{2}=\frac {mv^{2}}{2}+mg(H-l/2) \Rightarrow v=\frac {\sqrt{3gl}}{2}$ тогда $H=vt_{2}+\frac{gt_{2}^{2}}{2} \Leftrightarrow H=(\frac {\sqrt{3gl}}{2})t_{2}+\frac{gt^{2}_{2}}{2}\Rightarrow t_{2}=\frac{\sqrt{3gl+8Hg}-\sqrt{3gl}}{2g}$.
Мои соображения насчёт $t_{1}$:Пусть на столе будет лежать кусок верёвки длиной $l_{1}$, а свисать кусок - $l_{2}; (l_{1}+l_{2}=l;l_{1_{0}}=l_{2_{0}}=l/2)$.Тогда масса $l_{1}$ равна $ \frac {ml_{1}}{l}$, а $l_{2}$ - $ \frac {ml_{2}}{l}$. По второму закону Ньютона:
$\frac {ml_{1}dv}{ldt}=T;\frac {ml_{2}dv}{ldt}=\frac {ml_{2}g}{l}-T \Rightarrow \frac {dv}{dt}=(\frac {l_{2}}{l})g$;
$l_{2}=l/2-...$ что дальше не знаю,помогите. Правильно ли я вообще решаю?!

[Hellko]

я когда то решал такую задачу. сейчас попробую вспомнить.
x - свисающий кусок
l - вся длина
x/l часть веревки которую ускоряет g.
$ma=\frac{mgx}{l}$
получается диффур
$x''=\frac{g}{l}x$

[Omega]

Ну у меня то же самое, просто место $x$ у меня $l_{2}$

[Hellko]

Omega в сообщении #542142 писал(а):

Ну у меня то же самое, просто место $x$ у меня $l_{2}$

решаешь этот диффур и получаешь ответ.

[Omega]

$l_{2}=l/2+x;x(0)=0;x'(0)=0 \Rightarrow {\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) ={\frac { \left( \frac{l}{2}+x\left( t\right)\right) g}{l}}$ что дальше?

[Hellko]

ну вообще для начала надо решить в общем виде.
а потом использовать то, что в момент времени 0 скорость равна 0, а x=l/2 для нахождения констант..

-- 24.02.2012, 14:18 --

Omega в сообщении #542187 писал(а):

$l_{2}=l/2+x;x(0)=0;x'(0)=0 \Rightarrow {\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) ={\frac { \left( \frac{l}{2}+x\left( t\right)\right) g}{l}}$ что дальше?

сделай лучше так:
$l_{2}=x;x(0)=l/2;x'(0)=0$

[Omega]

Получается
$x(t)=lcosh(\frac{t\sqrt{g}}{\sqrt{l}})$
И так как $x(t_{1})=l \Rightarrow t_{1}=\sqrt{\frac{l}{g}}log(3+\sqrt{2})$ Вроде бы правильно?

[Hellko]

Omega в сообщении #542210 писал(а):

Получается
$x(t)=lcosh(\frac{t\sqrt{g}}{\sqrt{l}})$

у меня получилось
$x(t)=\frac{l}{2}\cosh(\frac{t\sqrt{g}}{\sqrt{l}})$

[Omega]

Да, да я ещё раз проверил;правильно будет $x(t)=\frac{l}{2}\cosh(\frac{t\sqrt{g}}{\sqrt{l}})$
Ответ всё тот же, я опечатался.

[anik]

Так, за какое время упадёт верёвка, я не понял.

[Батороев]

Если между веревкой и столом нет трения, то эквивалент этому - веревка находится в свободном падении. Я бы личнно искал время из выражения: $H+\dfrac {l}{2}= \dfrac {gt^2}{2}$.

[Утундрий]

anik в сообщении #542428 писал(а):

Так, за какое время упадёт верёвка, я не понял.

Зависит от того, носиком или хвостиком. Впрочем, при $H \gg l$ различием этих двух времён можно пренебречь.

[anik]

С чего взяли, что свисающий конец верёвки будет "падать" с ускорением $g$?
Предположим, что свисает 1м верёвки, а на столе лежит целый километр, тогда как?

[ewert]

Утундрий в сообщении #542453 писал(а):

Зависит от того, носиком или хвостиком.

Вот именно. Задачка некорректна -- она не учитывает вращение, которое существенно.

[anik]

Да, с учётом вращения верёвка может упасть плашмя, хотя задача корректна.