3 задачи по комбинаторике.

[maverick19]

Всем здравствуйте, хочу проконсультироваться и предоставить свое решение 3-х задач по комбинаторике на проверку:

1) Есть 10 разных предметов. Сколько сущ. способов раскрасить их в черный и белый цвета, если предметов каждого цвета должно быть не менее 4.

Решение:

Всего без условия способов $2^{10}$ = 1024

Найдем способы, не удовл. условию: Если покрашены в б/ч только 1, 2, 3 предмета

Это 2*(C_{10}^1+ C_{10}^2 + C_{10}^3) = 2(10 + 45 + 120) = 350

Ответ: 1024 - 350 = 674.

2) Колода из 32 карт (без шестерок). Выбираем 10 карт. Сколько способов вынуть 10 карт, 6 из которых одной масти?

Решение:

8 карт одной масти в колоде.

C_{8}^6 = 28, всего мастей 4, тогда всего способов 28*4 = 96

Ответ: 96.

3) 6 акционеров делят акции компании, всего акций 100. Сколькими способами можно разделить акции между участниками, если контрольный пакет (>50 акций) принадлежит одному человеку?

Решение:

Задача Муавра.

1 человек владеет > 50 акциями, значит делить будем оставшиеся 50 в натуральных числах.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 50

C_{k-1}^{n-1} = C_{49}^5

Так как любой из 6 человек может обладать контрольным пакетом, то ответ: 6*C_{49}^5

Спасибо всем за внимание!

[--mS--]

maverick19 в сообщении #541777 писал(а):

Найдем способы, не удовл. условию: Если покрашены в б/ч только 1, 2, 3 предмета

Я понимаю, $1<4$, $2<4$, $3<4$, но разве $0>4$? По-моему, чем вычитать три (уже 4) слагаемых, проще сразу посчитать благоприятные варианты раскраски - слагаемых всего два.

maverick19 в сообщении #541777 писал(а):

С(6, 8) = 28, всего мастей 4, тогда всего способов 28*4 = 96

Если бы вынималось $6$ карт, то да. Однако вынимают $10$ карт. Про остальные не забыли? Разве они одним способом добавляются к одномастной шестёрке?

3-я - верно.

Обратите внимание на правила: все формулы (все!) должны быть оформлены как формулы $\LaTeX$.

[maverick19]

1) И как это сделать? Какую формулу применить чтобы сразу посчитать?

2) Что поменяется если вынут 10 карт? Все равно исходы будут те же самые. Имею в виду что важна лишь комбинация из 6 карт одной масти, остальные 4 не имеют значения. Или я не прав?

[--mS--]

В моём сообщении достаточно информации для ответа на оба вопроса. Или Вы излагали выше чужие решения?

[maverick19]

Нет-нет, что Вы. Это мои мысли.

Подумал еще.

1) Получается забыл в первой задаче еще 2 способа отнять - это когда все либо черные, либо белые.

То есть окончательный ответ - 672.

2) Со второй разобрался.

Для каждого из возможных 96 способов есть еще C(4, 24) способа вынуть остальные 4 карты из 10!

[--mS--]

Верно.

[maverick19]

Спасибо за помощь!