Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.

[espe]

ИгорЪ в сообщении #538297 писал(а):

Т. е для второй теоремы находится на экстремали не обязательно. А на самой экстремали, первый член зануляется и связь пропадает.

Если мы будем находиться на экстремали, то сразу получим $0=0$ и на уравнения движения никакого тождества не получиться.

ИгорЪ в сообщении #538297 писал(а):

Очень квантовый факт.

Ничего квантового нет, только классика.

ИгорЪ в сообщении #538297 писал(а):

Т.е. классически связь и УД в некотором смысле эквивалентны.

Тождества, которые мы имеем в лагранжевом формализме, приведут к связям в гамильтоновом.

ИгорЪ в сообщении #538297 писал(а):

Условие $\varepsilon(t)=0$ немного смущает. Получается, что связь, которую мы вычислили по 2-ой Нетер не будет выполняться при самых общих преобразованиях, когда края тоже меняются и оживает поверхностный член. Между тем связь выполняется всегда.

Так как область интегрирования произвольна, то можно всегда выбрать бОльший промежуток интегрирования и повторить все рассуждения. Поэтому тождество выполняется всегда на любом промежутке, хоть на бесконечном.

ИгорЪ в сообщении #538297 писал(а):

Ещё не могли бы вы разъяснить жаргон где $R$ есть дельта функция.

Попробую. Если речь идёт о конкретном примере, который мы рассматриваем, то $x^\mu(t)=x^{\mu\,t}$, $\mu\,t$ можно обозначить одним (конденсированным) индексом, например $i$ и $x^{\mu\,t}=x^i$. Аналогично $\varepsilon(t)=\varepsilon^t$ и индекс $t$ это индекс $A$ в предыдущих текстах. Правило суммирования по повторяющимся индексам: по дискретным суммируем, по непрерывным интегрируем. Теперь запись $\delta x^i=R^i_A\varepsilon^A$ обозначает

$$\delta x^{\mu\,t}=\delta x^\mu(t)=R^{\mu\,t}_{t'}\varepsilon^{t'}=\int R^\mu(t,t')\varepsilon(t')dt'.$$

С другой стороны из $\delta x^\mu(t)=-\dot{x}^\mu(t)\varepsilon(t)$ имеем

$$\delta x^\mu(t)=-\int\dot{x}^\mu(t)\delta(t-t')\varepsilon(t')dt'=\int R^\mu(t,t')\varepsilon(t')dt'.$$

Отсюда $ R^\mu(t,t')=-\dot{x}^\mu(t)\delta(t-t')$.

[ИгорЪ]

espe в сообщении #538326 писал(а):

Ничего квантового нет, только классика.

Классика, конечно, но независимость от экстремальности траекторий "выглядит" квантово. Интеграл по путям содержит все траектории равноправно. Первая Нетер в этом смысле "классична" - только на экстремали.