Пространства Соболева

[Marina Melnikova]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста доказать то, что если функция принадлежит пространству Соболева $W_R^1^,^\infty$, то она принадлежит и пространству $W_R^1^,^t$, где t - конечное число. Большое спасибо.

[Dan B-Yallay]

Непонятно что за под-индекс $R$. Стандартное определение пространства Соболева:

$$W^{k,p}(\Omega) = \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leq k \}. $$

Возможно имеется в виду $W^{1,\infty}(\mathbb R)$, но в этом случае утверждение просто неверно - ограниченная на $\mathbb R$ функция-константа не является конечно-интегрируемой ни по какой $t$-норме.

[Marina Melnikova]

Спасибо Вам за помощь. В данном случае с помощью подындекса $\mathbb R$ обозначается действительное подпространство действительных функций в данном пространстве. Имеется в виду $W_\mathbb R^1^,^\infty(D)$, где $D$ - единичный круг.

[ewert]

Marina Melnikova в сообщении #537824 писал(а):

с помощью подындекса $\mathbb R$ обозначается действительное подпространство действительных функций в данном пространстве

Действительное -- это не подпространство, это во-первых. Во-вторых, действительность функций никакой роли не играет -- для них всё ровно так же, как и для комплексных. В-третьих, с обозначениями спорить, конечно, бессмысленно, однако они всё же неудачны: во избежание путаницы лучше $W_{\infty}^1(D)$.

Зачем доказывать, что $W_{\infty}^1(D)\subset W_{t}^1(D)$ -- непонятно совершенно: это тривиальное следствие вложения $L_{\infty}(D)\subset L_t(D)$ для любой ограниченной области. Которое и само по себе тривиально. И даже то, что вложение -- собственное, проверяется очевидными примерами.

[Marina Melnikova]

Проблема в том и состоит, что все это очевидно, на первый взгляд.. Но затруднение вызывает именно то, как это показать с помощью оценок и интегралов. Может быть, как-то с помощью неравенства Гёльдера..

[ewert]

Каких ещё оценок?... Если функция (или её производная) ограниченна и измерима, то она интегрируема по ограниченной области с любой степенью. Просто по определению интеграла Лебега; и при чём тут собственно пространства Соболева?

[Marina Melnikova]

Большое спасибо. Подскажите, пожалуйста, а как тогда выразить норму в $L_\infty$ через норму в $L_p$, где $p$ - конечное число?

[ewert]

Marina Melnikova в сообщении #537919 писал(а):

а как тогда выразить норму в $L_\infty$ через норму в $L_p$, где $p$ - конечное число?

Никак, и не это от Вас требовалось (хотя я окончательно перестал понимать, что же, собственно, требовалось). И уж тем более так никак, можно лишь наоборот, если придать Вашим словам хоть какой-то смысл.

[Marina Melnikova]

А если наоборот? Возможно, задача моя состоит совершенно в другом, но без этих мелочей мне самой трудно понять, что конкретно нужно сделать. Возможно, чтобы не морочить ни Вам, ни себе голову, мне стоило бы сделать ссылку на книгу, в которой на двух страницах описано то, что меня требуется.. Можно ли так сделать...?

[ewert]

Marina Melnikova в сообщении #537954 писал(а):

чтобы не морочить ни Вам, ни себе голову, мне стоило бы сделать ссылку на книгу, в которой на двух страницах описано то, что меня требуется.. Можно ли так сделать...?

Можно всё. Но лучше бы попросту сформулировать чётко задачку. Пока что её не видно.

(ну, конечно, если не понимать под задачкой доказательство того, что $2\times 2=4$... тоже задачка, конечно)

[Marina Melnikova]

Спасибо большое!
Всё-таки, если позволите, вот ссылка на статью:

http://clck.yandex.ru/redir/AiuY0DBWFJ4 ... c=3346&i=5

В ней на стр. 11 сформулировано Предложение 1. Его нужно доказать, и сказать, что коэффициенты "ню" и "сигма" будут принадлежать вместо $W_\mathbb R^1^,^\infty$ пространству $W_\mathbb R^1^,^t$. Может, это как-то в процессе доказательства выясняется. Равенства (21) и (22) я уже доказала, и то, что если

$f=u+iv$ является решением уравнения (5) $\Rightarrow$ $w$, удовлетворяющее уравнению (22), является решением (19),

тоже доказала. Из этого должно следовать то, что $w$ - обобщенная аналитическая функция.
Доказываться всё это должно с помощью неравенства Гёльдера, а из интегралов, вводимых тогда, когда работаем с $L^\infty$, как-то выносится максимум модуля...

Огромное спасибо за Вашу помощь.
С уважением, Марина Мельникова.

[Marina Melnikova]

..С английского могу перевести... Если это вызывает затруднение.

[Marina Melnikova]

ewert в сообщении #537928 писал(а):

Marina Melnikova в сообщении #537919 писал(а):

а как тогда выразить норму в $L_\infty$ через норму в $L_p$, где $p$ - конечное число?

Никак, и не это от Вас требовалось (хотя я окончательно перестал понимать, что же, собственно, требовалось). И уж тем более так никак, можно лишь наоборот, если придать Вашим словам хоть какой-то смысл.

Если Вам не трудно, покажите, пожалуйста, как это делается.

[Dan B-Yallay]

наоборот:

$$\begin{align} |f(x)|& \leqslant \|f\|_{L^\infty}\\ |f(x)|^p& \leqslant \|f\|^p_{L^\infty}\\ \int_{D}|f(x)|^p dx & \leqslant \int_{D}\|f\|^p_{L^\infty}dx=\mu(D)\|f\|^p_{L^\infty} \\ \|f(x)\|_{L^p}&\leqslant (\mu(D))^{1/p} \|f\|_{L^\infty} \end{align}$$

[Marina Melnikova]

Ух ты! Спасибо огромное! Теперь можно дальше разбираться.