Компакты не в метрических пространствах

[alleut]

Цитата:

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.

и

Цитата:

Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

Хочется такие примеры, когда
1) любая последовательность точек содержит сходящуюся подпосл., но пространство (множество) не является компактным
2) множество ограничено и замкнуто, но не является компактом

[Dan B-Yallay]

1) $\mathbb Q \cap [0,1]$
2) $B(0,1) \subset l_\infty$

[Narn]

Dan B-Yallay в сообщении #533882 писал(а):

1) $\mathbb Q \cap [0,1]$

Я не понял этого примера - ну, возьмем последовательность рациональных приближений к $\sqrt{2}$. Где в этой последовательности сходящаяся в множестве рациональных чисел подпоследовательность? В принципе, секвенциальная компактность (из любой сходящейся последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность) эквивалентна стандартному определению компактности (из любого открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие) для метрических пространств (что и написано в первом сообщении ТС), так что рациональные числа и любое другое метрическое пространство не подойдут.
Возможно, ТС нужно что-то вроде этого (http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space):

Цитата:

Not every countably compact space is compact; an example is given by the first uncountable ordinal with the order topology. Not every compact space is sequentially compact; an example is given by 2[0,1], with the product topology (Scarborough & Stone 1966, Example 5.3).

[r2d2study]

Если я правильно понимаю, то Ваша последовательность рациональных приближений и есть сходящаяся подпоследовательность по стандартной метрике: $d(x,y)=| x-y|$
Так как пространство не является полным, то у нее не будет предела.

[Narn]

r2d2study в сообщении #534028 писал(а):

Если я правильно понимаю, то Ваша последовательность рациональных приближений и есть сходящаяся подпоследовательность ...у нее не будет предела.

По тем определениям, которым учили меня, такое невозможно. Когда мы говорим "сходящаяся последовательность" мы всегда держим в голове пространство, относительно которого мы это утверждаем, и последовательность называется сходящейся, если она сходится к элементу этого пространства. ТС нужно пространство, в котором из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но которое не компактно. Из цитированного им утверждения следует, что искать такой пример есть смысл только среди неметризуемых пространств. Интересно, а длинная полупрямая Александрова не пойдет, кстати?

[r2d2study]

Согласен, то что я имел в виду, называется "сходящаяся в себе" последовательность, или проще говоря фундаментальная, и это не то, что было нужно.

[Oleg Zubelevich]

Пусть множество $S\subset [0,1]^{[0,1]}$ состоит из функций $f:[0,1]\to[0,1]$, каждая из которых отлична от нуля на не более чем счетном множестве точек. Подозреваю, что в топологии прямого произведения, $S$ секвенциально компактно , но не компактно.

-- Чт фев 02, 2012 12:41:17 --

alleut в сообщении #533873 писал(а):

любая последовательность точек содержит сходящуюся подпосл., но пространство (множество) не является компактным

если под сходящейся последовательностью понимать ту, которая имеет предел, то в метрическом пространстве это невозможно

[alcoholist]

Сходимость на этом $S$ -- это поточечная сходимость.

Вот представьте такую последовательность функций $g_n$ с носителяи

${\rm supp} \,g_n=\{m/2^n\,|\,m=1,\ldots, 2^n-1\}$

и значениями, определенными так:
для двоично-рационального $t=(2k+1)/2^p$, возьмем точки $x_0,\ldots,x_p\in [0;1]$
и положим $g_n(t)=x_{n\mod (p+1)}$.

Разве она сходится поточечно в $S$?

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #534167 писал(а):

Разве она сходится поточечно в $S$?

а я разве утверждал, что всякая последовательность должна сходиться поточечно в $S$?

[alcoholist]

я имел ввиду есть ли у нее поточечно сходящаяся подпоследовательнсть, пардон

[Oleg Zubelevich]

Пусть множество $S\subset [0,1]^{[0,1]}$ состоит из функций $f:[0,1]\to[0,1]$, каждая из которых отлична от нуля на не более чем счетном множестве точек.

Утв. В топологии прямого произведения множество $S$ секвенциально компактно , но не компактно.

Доказательство. Некомпактность множества $S$ следует из его всюду плотности: $\overline S=[0,1]^{[0,1]}$.

Проверим, что $S$ секвенциально компактно. Введем обозначение $P(f)=\{x\in[0,1]\mid f(x)\ne 0\},\quad f\in S$.

Рассмотрим последовательность $\{f_k(x)\}_{k\in\mathbb{N}}\subset S$. И проверим, что эта последовательность содержит подпоследовательность, которая сходится поточечно на $[0,1]$ к элементу $f\in S$.
Множество $Q=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}P(f_k)$ счетно -- как счетное объединение счетных множеств: $Q=\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}$; и

$$f_n(x)=0,\quad n\in\mathbb{N},\quad x\in[0,1]\backslash Q\qquad (*).$$

Выделим из последовательности $\{f_k(x)\}_{k\in\mathbb{N}}$ подпоследовательность $\{f^{(1)}_{k}\}$, такую, что $\{f^{(1)}_{k}(x_1)\}$ -сходится. Из последовательности $\{f^{(1)}_{k}\}$ выделим подпоследовательность $\{f^{(2)}_{k}\}$ такую, что $\{f^{(2)}_{k}(x_2)\}$ сходится and so on. Очевидно, последовательность $f^{(k)}_k$ сходится поточечно на $Q$ к элементу $f$; а вне $Q$ , в силу (*) все $f^{(k)}_k=0$, поэтому продолжаем $f$ нулем вне $Q$ и получаем, что $f^{(k)}_k$ сходится к $f$ в топологии прямого произведения т.е. поточечно на отрезке $[0,1]$.

[Nemiroff]

Steen и Seebach приводят в пример $[0,\Omega)$ со стандартной порядковой топологией. $\Omega$ - наименьший несчетный ординал.

[alcoholist]

Да, убедили. В моем примере можно взять подпоследовательность $f_{(n+1)!n}$ ... диагональная процедура

[alleut]

Поясните второй пример, пожалуйста. Что означает $B$?

[alcoholist]

сфера радиуса 1 в любом гильбертовом пространстве подойдет

-- Чт фев 02, 2012 20:43:59 --

а под $B$ понимался замкнутый шар радиуса 1 с центром в нуле