Компакты не в метрических пространствах

[lyuk]

Для ответа на второй вопрос подойдет замкнутый шар в любом бесконечномерном нормируемом пространстве.

[alcoholist]

lyuk в сообщении #534365 писал(а):

подойдет замкнутый шар в любом бесконечномерном нормируемованном пространстве

это уже труднее доказать -- в учебнике Рудина Функциональный анализ это теорема 1.22, доказательство которой хоть и меньше страницы, но опирается еще на 3 утверждения

доказательство же некомпактности в гильбертовом пространстве опирается только на определения и занимает пару строк

[Oleg Zubelevich]

На этом примере еще можно такую вещь уяснить. Как уже отмечалось, пространство $S$ плотно в $[0,1]^{[0,1]}$. Пусть $h\in[0,1]^{[0,1]}\backslash S$. Не существует последовательности $\{f_n\}\subset S$ такой, что $f_n\to h$. Это следует из того, что $S$ -- секвенциально замкнуто. Зато можно указать направленность, которая сходится к $h$.

Через $A$ обозначим множество конечных наборов $\alpha=\{x_1,\ldots x_n\}\subset [0,1],\quad n\in\mathbb{N}, \quad x_k\in[0,1]$.
Топология в $[0,1]^{[0,1]}$ задается полуметриками $d_\alpha(u,v)=\sup_{x\in\alpha}|u(x)-v(x)|,\quad \alpha\in A.$

Зададим на $A$ направление отношением $\subseteq$.

Зададим направленность $\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}\subset S$ следующим образом:
$f_\alpha(x)=h(x),\quad x\in \alpha$. Тогда $f_\alpha\to h$.

[alleut]

Спасибо всем за помощь