Характеристическая функция по значениям временного ряда

[stat]

Подскажите пожалуйста как по значениям временного ряда можно получить характеристическую функцию ? Желательно с простым примером в Excel. В интернетах совершенно ничего не смог найти на эту тему.

[profrotter]

Предполагаю, что есть несколько путей решения такой задачи:

1. Получить много-много моментов распределения наблюдений и приблизительно представить характеристическую функцию в виде степенного ряда.

2. Сначала получить плотность распределения вероятности, затем характеристическую функцию, как прямое преобразование Фурье.

3. Учесть, что характеристическая функция $\theta(t)$ случайной величины $X$ по определению представляет собою мат. ожидание вида $\theta(t)=M[e^{iXt}]$. Соответственно если у Вас есть наблюдения $x_n,n=0,...,N-1$, то $\theta(t)\approx\frac 1 N \sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{ix_nt}$. Если предварительно был найден закон распределения и установлена его чётная симметрия, то $\theta(t)\approx\frac 2 N \sum\limits_{n=0}^{N-1}\cos(x_nt)$

Возможны, наверное, и иные варианты.

[stat]

Спасибо что откликнулись !

2) то есть мне нужно предварительно получить плотность в аналитической форме ? По выборочной плотности в форме гистограммы частот можно как-то получить характеристическую функцию ?

3) Подскажите, а что означает параметр $t$ ? В каком интервале мне нужно брать значения для этого параметра ?

[profrotter]

Я сразу хочу аккуратно оговориться. Дело в том, что при анализе временных рядов обычно выделяют тренд, делают прогноз по тренду и тп. Да и временные ряды тоже бывают разными - они могут быть просто нумерованными, либо отражать изменение во времени характеристики исследуемого процесса. Вообще говоря, в каждом конкретном случае может потребоваться и отдельное разбирательство, учитывающее, возможно, физические особенности исследуемого процесса. Так вот всё, что я изложил относится к тем случаям, когда можно считать, что временной ряд соответствует выборочным значениям реализации эргодического случайного процесса. Иногда такой временной ряд может быть получен после исключения тренда. Для эргодических процессов усреднение по ансаблю реализаций эквивалентно усреднению по времени, плотность распределения вероятности и характеристическая функция не зависят от времени. И конечно же речь идёт о одномерной ПРВ и соответствующей ей характеристической функции.

stat в сообщении #531339 писал(а):

2) то есть мне нужно предварительно получить плотность в аналитической форме ? По выборочной плотности в форме гистограммы частот можно как-то получить характеристическую функцию ?

Думаю да. Можно подобрать закон распределения по гистограмме. А можно гистограмму интерпретировать как совокупность отсчётов закона распределения (возможно с коэффициентом). Сгладить её вправо и влево скользящим средним, после чего характеристическую функцию искать с помощью дискретного преобразования Фурье.

stat в сообщении #531339 писал(а):

3) Подскажите, а что означает параметр $t$ ? В каком интервале мне нужно брать значения для этого параметра ?

$t$ - это аргумент характеристической функции. Возможно обозначение неудачно, ибо перегружает обозначение для времени. А вот с пределами я Вам на вскидку не могу сейчас сказать - возможно будет иметь место некоторая периодичность по $t$ при использовании приведённой формулы.

Да и то, что я написал надо проверить. Так что немного подождите. Придут --mS-- , _hum_, Евгений Машеров может ещё чего дельного скажут.

[stat]

profrotter в сообщении #531466 писал(а):

Так вот всё, что я изложил относится к тем случаям, когда можно считать, что временной ряд соответствует выборочным значениям реализации эргодического случайного процесса. Иногда такой временной ряд может быть получен после исключения тренда. Для эргодических процессов усреднение по ансаблю реализаций эквивалентно усреднению по времени, плотность распределения вероятности и характеристическая функция не зависят от времени. И конечно же речь идёт о одномерной ПРВ и соответствующей ей характеристической функции.

Допустим я под ВР подразумеваю ряд биржевых котировок. Этот ряд нестационарный, первые разности тоже. Выходит он не эргодический, так как эргодическим может быть только стационарный процесс, верно ? Следовательно возникает вопрос насколько вообще ХФ может быть полезна в этом случае ?

profrotter писал(а):

Можно подобрать закон распределения по гистограмме. А можно гистограмму интерпретировать как совокупность отсчётов закона распределения (возможно с коэффициентом). Сгладить её вправо и влево скользящим средним, после чего характеристическую функцию искать с помощью дискретного преобразования Фурье.

Вот туго как то у меня все идет. Вот $\theta(t)\approx\frac 1 N \sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{ix_nt}$ здесь же еще нужно на вероятность умножать ?

profrotter писал(а):

$t$ - это аргумент характеристической функции. Возможно обозначение неудачно, ибо перегружает обозначение для времени. А вот с пределами я Вам на вскидку не могу сейчас сказать - возможно будет иметь место некоторая периодичность по $t$ при использовании приведённой формулы.

Да и то, что я написал надо проверить. Так что немного подождите. Придут --mS-- , _hum_, Евгений Машеров может ещё чего дельного скажут.

Я тут вычитал что при $t=0$ мы находим производные различных порядков от ХФ и получаем таким образом моменты распределения. Может этот параметр только в этом смысле используется ?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Эээ... Я польщён, но по вопросу, как правильно (в смысле прибыльно) работать с биржевыми котировками, могу сказать лишь одно: "Открыть свой Форекс-клуб и стричь хомячков". Ну, или то же, но в смягчённой форме - учить хомячков или консультировать хомячков.

А что до оценивания Х.Ф. - то, наверно, можно воспользоваться и тем, что семиинварианты случайной величины это коэффициенты разложения в ряд Маклорена логарифма характеристической функции. А семиинварианты известным образом выражаются через моменты. Особенно удобно, если Вас интересует х.ф. суммы величин, зная х.ф. слагаемых - семиинварианты суммы равны сумме семиннвариантов.

[stat]

Благодарю за еще один интересный подход. Но что получается. Что вычисление этой функции на практике не такая уж и тривиальная задача. Неудивительно что в учебниках об этом ничего не пишут. О семиинвариантах (кумулянтах) слышу впервые - почитаю ознакомлюсь что к чему. Спасибо.

По поводу биржевых котировок. Просто мне хочется получить еще один инструмент для описания временного ряда. Я уже давно хотел разобраться с ХФ. И вот время пришло

[profrotter]

stat в сообщении #531494 писал(а):

Допустим я под ВР подразумеваю ряд биржевых котировок. Этот ряд нестационарный, первые разности тоже. Выходит он не эргодический, так как эргодическим может быть только стационарный процесс, верно ? Следовательно возникает вопрос насколько вообще ХФ может быть полезна в этом случае ?

Возможно после исключения детерминированной составляющей можно будет приближённо говорить о эргодическом свойстве.

stat в сообщении #531494 писал(а):

Вот туго как то у меня все идет. Вот $\theta(t)\approx\frac 1 N \sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{ix_nt}$ здесь же еще нужно на вероятность умножать ?

Это среднее арифметическое, коим заменяется мат. ожидание при усреднении по времени. Я ж говорю, что это следует проверить. Возможно так и нельзя.

stat в сообщении #531494 писал(а):

Я тут вычитал что при $t=0$ мы находим производные различных порядков от ХФ и получаем таким образом моменты распределения. Может этот параметр только в этом смысле используется ?

Прежде всего $t$ является независимой переменной.

Главное тут понять, что характеристическая функция и плотность распределения вероятностей являются парой преобразований Фурье, то есть имеют взаимно-однозначное соответствие друг другу и математически равноправны в том смысле, что несут одинаковую информацию о исследуемом процессе. Аппарат характеристических функций удобен в теоретическом рассмотрении различных вероятностных задач. Например при сложении двух независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются. А с практической точки зрения - чёрт его знает, что можно определить получив график характеристической функции... Помнится где-то на форуме даже пытались наделить каким-либо смыслом характеристическую функцию, но так и не наделили.

[Евгений Машеров]

Напрашивается версия, что человека интересует распределение величины, являющейся суммой величин с известным (или оцениваемым) распределением.
Скажем, есть статистика по дневным доходностям, а интересно распределение возможных значений цены на указанную дату (скажем, чтобы опционы оценивать).
Впрочем, пусть топикстартер выскажется...

[stat]

profrotter писал(а):

Главное тут понять, что характеристическая функция и плотность распределения вероятностей являются парой преобразований Фурье, то есть имеют взаимно-однозначное соответствие друг другу и математически равноправны в том смысле, что несут одинаковую информацию о исследуемом процессе. Аппарат характеристических функций удобен в теоретическом рассмотрении различных вероятностных задач. Например при сложении двух независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются. А с практической точки зрения - чёрт его знает, что можно определить получив график характеристической функции... Помнится где-то на форуме даже пытались наделить каким-либо смыслом характеристическую функцию, но так и не наделили.

Ясно. Но смысл должен быть. Если это ХФ ввели только ради удобства теоретического рассмотрения то это жутко конечно. Об этом большими буквами предупреждать нужно во всех учебниках. Вот Евгений Машеров мне подсказал про семиинварианты, так я скачал себе Малахова "Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов", прочитал пару страниц первых вроде бы то что нужно. Только когда это все успеть прочитать, понять, пощупать на практике в конце концов.

[ИСН]

Все формулы на свете, а также все цифры и буквы ввели только ради удобства теоретического рассмотрения. Так-то всё было просто: вот мамонт, вот копьё.

[stat]

Евгений Машеров в сообщении #531719 писал(а):

Напрашивается версия, что человека интересует распределение величины, являющейся суммой величин с известным (или оцениваемым) распределением.
Скажем, есть статистика по дневным доходностям, а интересно распределение возможных значений цены на указанную дату (скажем, чтобы опционы оценивать).
Впрочем, пусть топикстартер выскажется...

Вообще хочу закрыть пробел в знаниях по ХФ. Но не только в теоретическом плане, больше в практическом. Именно в приложении к биржевым данным. Так как я немного интересуюсь спекуляциями.

Опционов я пока не касаюсь. Конечно для трейдера это наверно основная задача - спрогнозировать ФР или ПФР. Есть кое-какие идеи(не мои естественно) как это можно сделать, но пока я вот застреваю то на производных, то на конечных разностях, то на ХФ. Уже больше интересна наука стала чем трейдинг.

-- Чт янв 26, 2012 21:34:18 --

ИСН в сообщении #531756 писал(а):

Все формулы на свете, а также все цифры и буквы ввели только ради удобства теоретического рассмотрения. Так-то всё было просто: вот мамонт, вот копьё.

Да оно то так конечно. Вы правы. Понять Вас можно, давно уже это все пройдено, задача видится наверно элементарной. Вот объясните пожалуйста какое число нужно брать вместо $t$ когда считаем ХФ ?

[ИСН]

Задача мне вовсе не видится элементарной. Над ней работают серьёзные прикладные математики. Что до ответа на Ваш вопрос, то: если хотим сохранить всю информацию о распределении, то нужны "все" значения $-\infty<t<\infty$, а если хотим сравнить что-то конкретное (мне ни разу не очевидно, что!), то тогда смотря что хотим.