линии уровня второго дифференциала

[Nikel]

Добрый всем вечер!
В задаче дана функция от двух аргументов, требуется найти точки, в которых выполняются условия первого порядка (экстремумы) и проверить их с помощью вторых производных. С этим проблем не возникло, но в задаче также требуют изобразить эскизы линий уровня второго дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции от двух переменных я ещё представляю как можно изобразить, но вот второй дифференциал, да ещё и от функции двух переменных...
Есть ещё одна задача, в ней дана функция от двух аргументов и система ограничений на эти аргументы (три неравенства). Задача заключается в том, чтобы найти локальные экстремумы данной функции. У меня получилось найти один экстремум функции через первые частные производные, я построил область, в которой аргументы удовлетворяют условиям системы ограничений и мне кажется, что где-то на границах этой области у функции могут быть ещё экстремумы (что почти наверняка и есть в действительности). Вопрос таков: как мне найти экстремумы функции на границе заданной области определения.
Ну и в третьем номере у меня полный затык, если у кого-нибудь появятся идеи, буду очень благодарен!)

Заранее всем спасибо!
Ссылка на текст задач: http://ifolder.ru/28232834 (номера 1,3,4)

[alcoholist]

Nikel в сообщении #529697 писал(а):

как мне найти экстремумы функции $f$ на границе заданной области определения

параметризуйте каждую из трех линий границы и ищите экстремумы функций одной переменной:
1) параметризация части $A$ границы $(x(t),y(t))$
2) ищем экстремум $g(t)=f|_A(x(t),y(t))$

[ewert]

Nikel в сообщении #529697 писал(а):

в задаче также требуют изобразить эскизы линий уровня второго дифференциала.

Второй дифференциал -- это квадратичная форма. Поэтому если эта формулировка вообще имеет формальный смысл (в чём я несколько сомневаюсь), то от Вас требовалось нарисовать попросту соответствующие гиперболы, эллипсы или параллельные прямые.

[alcoholist]

Nikel в сообщении #529697 писал(а):

эскизы линий уровня второго дифференциала

Это какое-то невнятное условие. Второй дифференциал -- это квадратичная форма, причем неинвариантная. М.б. имелись ввиду линии уровня гессиана в данных координатах?

[Padawan]

alcoholist в сообщении #529707 писал(а):

Nikel в сообщении #529697 писал(а):

эскизы линий уровня второго дифференциала

Второй дифференциал -- это квадратичная форма, причем неинвариантная.

Как это неинвариантная? Это вполне определенная квадратичная форма, вне всякой связи с кординатами. Или что Вы имели ввиду? В координатах $dx,dy$ надо нарисовать, видимо.

[alcoholist]

Padawan в сообщении #529769 писал(а):

Как это неинвариантная?

А вот так:( Неинвариантная даже для одной переменной.
Инвариантна она только в критических точках функции.