Задача по теории вероятности

[YaR]

Добрый день. Прошу помощи в решении следующей задачи:
Точка (x,y) выбирается случайным образом из треугольника с вершинами А (b,b), B (0,b), C (b,0). Найдите:
а) Плотность распределения вектора (x,y).
б) Плотности х и у.
в) Функцию распределения вектора (x,y), функцию распределения х и функцию распределения у.
г) Мх, Му, Дх, Ду.
д)Cov xy, являются ли х и у независимыми случайными величинами?
Думаю сначала нужно найти функцию распределения вектора (х,у), либо его плотность, но как извлечь эти данные из условия задачи не могу понять

[PAV]

Это геометрическая вероятность. Вероятность попадания точки в любую область определяется как площадь пересечения этой области с данным треугольником, деленная на площадь треугольника. Плотность распределения равна некоторой (одной и той же) константе (ее Вам надо найти) во всех точках треугольника, и нулю - вне треугольника.

Теперь - Ваш ход. А именно - попытки решения задачи с учетом сделанных мной подсказок. Это обязательное требование форума. Как минимум Вы должны продемонстрировать, что знаете определения понятий, которые фигурируют в задаче, их свойства и умеете с ними работать. Для первых пунктов больше ничего и не нужно.

[YaR]

Я знаю то, что плотность распределения случайной двумерной вечилины - это первая производня функции распределения, т.е. чтобы найти плотность нужно взять двойной интеграл. Геом. смысл такого интеграла - это объём. Чтобы найти его нужно площать поверхности (Для нас, как понял, это будет площадь получившегося треугольника) умножить на толщину. Эта толщина и будет этой константой. А по условию нормировки плотность равна единице. Из получившегося равенства найдём плотность. Я прав?

[PAV]

YaR в сообщении #526456 писал(а):

Геом. смысл такого интеграла - это объём.

Поскольку интеграл двойной, то это не объем, а площадь. Никакой "толщины" здесь нет.

[YaR]

Тогда не могу понять как увязать определения с данными задачи... Плотность распределения, по условию нормировки, равна единице, получается. Т.е. чтобы найти функцию распределения нужно взять двойной интеграл от единицы?

[PAV]

YaR в сообщении #526468 писал(а):

Плотность распределения, по условию нормировки, равна единице, получается.

Чему равна плотность, я уже написал. Константе, которую осталось только найти. Для этого действительно используется условие нормировки. В чем оно заключается?

[YaR]

Извиняюсь, ошибся: не плотность распределения равна единице, а интеграл от неё равен единице:
F(x,y) - функция распределения, f(x,y) - плотность распределения,
$F(x,y)=\int \int f(x,y) dx dy$
Условие нормировки: $\int \int f(x,y) dx dy = 1$
Вот только не знаю какие пределы интегрирования

[PAV]

Интеграл берется по всей плоскости.

[YaR]

Т.е. от минус бесконечности до плюс бесконечности...Хорошо, это понятно. А как выразить плотность распределения, зная это, не могу понять

[PAV]

Повторяю третий раз: я уже написал, чему равна плотность. Эта функция совсем простая. Нужно только подставить ее в формулу нормировки и посмотреть, во что при этом превращается интеграл. Пределы интегрирования на этом шаге не понадобятся совсем (в явном виде).

[YaR]

Получается интегрирование константы, в результате: $\int \int C dx dy = Cxy$
По условию нормировки:
$ C xy = 1$
$C = 1/xy$ - плотность распределения
Следовательно, функция распределения будет равна: $\int \int (1/xy) dx dy$

-- 13.01.2012, 20:01 --

Или второй вариант: $C = 1 / \int\int dx dy$

[PAV]

Боюсь, что Вам нужно капитально вспоминать курс математического анализа. Интегралы там всякие как брать, прочую дребедень ненужную... Без этого никак.

Для разминки разберитесь хотя бы с одномерной геометрической вероятностью, когда точка бросается на отрезок прямой. Посмотрите, как в том случае плотность выглядит, как она интегрируется, как функция распределения находится... Например здесь или в любом учебнике.

-- Пт янв 13, 2012 22:43:16 --

А еще лучше здесь и здесь.

[YaR]

Вы же сами написали, что значение плотности распределения (константу) нужно подставить в формулу нормировки. Константа выносится за знак интеграла. Второй вариант : $ C = 1/ \int\int dxdy$ не правильный???

[spaits]

Формулу нормировки напишите правильно, а не абы что.

-- Пт янв 13, 2012 21:07:28 --

Заодно вычислите площадь треугольника $ABC$, и не обязательно как интеграл, а просто как половину произведения катетов, поскольку это прямоугольный треугольник.

-- Пт янв 13, 2012 21:09:05 --

(Оффтоп)

Раз с интегрированием сложности.

[YaR]

Не понимаю, в чём ошибка в формуле нормировки: $\int\int f(x,y) dx dy = 1 $ ?
Площадь треуголника ABC: $b^2/2$

-- 14.01.2012, 00:27 --

Я правильно понял, что плотность будет равна: $2/b^2$ ?