Задача по статистике

[in_flames]

ну Мат ожидание мы просуммировали, аналогично СКО?

[svv]

Учебник, справочник, Википедия.

[in_flames]

svv в сообщении #525729 писал(а):

Учебник, справочник, Википедия.

Допустил ошибку в
Если $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами $a_1$, $\sigma_1^²$ и $a_2$, $\sigma_2^² $соответственно, то их сумма $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ тоже распределена по нормальному закону, притом с параметрами $a_1 + a_2 $ и $\sigma_1^² $+$\sigma_2^²$.

Там не просто sigma, а sigma^2, но у меня это не прописывается тут :( Таким образом выходит, что суммировать нужно дисперсии

[svv]

Да, да, именно. И хотя у Вас всё равно единицы (а $1^2=1$), но зато не всё равно, как потом понимать сумму этих единиц -- как $\sigma$, или же как $\sigma^2$.

[in_flames]

svv в сообщении #525738 писал(а):

Да, да, именно. И хотя у Вас всё равно единицы (а $1^2=1$), но зато не всё равно, как потом понимать сумму этих единиц -- как $\sigma$, или же как $\sigma^2$.

В данном случае мы так же учитываем кол-во бутылок (9) и получаем СКО ($Y$) = 9/9 =1?

[svv]

Продвигаемся потихоньку.
Для случайной величины $X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7+X_8+X_9$ мы какое получаем $\sigma^2$ и $\sigma$?
Не забудьте, $\sigma^2$ суммы величин, распределенных нормально, равна сумме $\sigma^2$ тех величин.

[in_flames]

svv в сообщении #525750 писал(а):

Продвигаемся потихоньку.
Для случайной величины $X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7+X_8+X_9$ мы какое получаем $\sigma^2$ и $\sigma$?
Не забудьте, $\sigma^2$ суммы величин, распределенных нормально, равна сумме $\sigma^2$ тех величин.

т.е. $\sigma(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7+X_8+X_9)$ $=3$ что ли в нашем случае?

[svv]

Можно ответить: "А что я могу сделать?"
Но это, не забудьте, пока только $\sigma (\sum X_i)$.
А $\sigma(Y)=\sigma(\frac 1 9 \sum X_i)$ ?

[in_flames]

svv в сообщении #525763 писал(а):

А $\sigma(Y)=\sigma(\frac 1 9 \sum X_i)$ ?

Да вроде бы нет, ну мне по крайне мере так кажется..

[svv]

Смотрите, я не утверждал, что вместо $\sigma(Y)$ можно написать $\frac 1 9 \sigma(\sum X_i)$, хотя, может, это и верно (об этом и вопрос).

Я просто подставил вместо $Y$ величину $\frac 1 9 \sum X_i$. Это одно и то же по определению, поэтому эти два выражения взаимозаменяемы.

То есть мой вопрос был:
"А что Вы можете сказать про $\sigma(Y)$, она же (по определению $Y$) $\sigma(\frac 1 9 \sum X_i)$ ?"

P.S. То есть я как раз и спрашиваю: можно ли вынести $\frac 1 9$ из-под сигмы? (под сигмой она сейчас просто по определению $Y$).

-- Ср янв 11, 2012 18:42:45 --

Подсказываю: можно. И тогда $\sigma(Y)=...$

[in_flames]

=1/3?

[svv]

Да, правильно, $\sigma=1/3$.

Почему здесь СКО меньше, чем исходное $\sigma=1$ ? СКО показывает, насколько велик разброс значений постоянной величины относительно среднего значения (фраза, не претендующая на строгость). Если разливочная машина разливает напиток идеально точно, всегда одинаковое количество, СКО равно нулю. Чем менее точно -- тем больше СКО.

А если брать по девять бутылок и каждый раз находить среднее по девяти бутылкам, то маловероятно, чтобы у всех бутылок отклонение объема от среднего было в одну сторону. Чаще всего эти индивидуальные отклонения будут направлены в разные стороны и потому будут сглаживать друг друга. Поэтому разброс "среднего объёма по девяти бутылкам" будет аж в 3 раза меньше разброса объёма одной бутылки.

PAV в сообщении #525378 писал(а):

Повторю основной вопрос, на который в данной задаче Вы должны ответить, и это будет процентов 75 решения: как распределена случайная величина $Y$, которую я определил?

Теперь мы можем ответить. Величина $Y$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ (как у одной бутылки) и дисперсией $1/9$ (или $\sigma=1/3$).

[PAV]

svv в сообщении #525964 писал(а):

Теперь мы можем ответить. Величина $Y$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ (как у одной бутылки) и дисперсией $1/9$ (или $\sigma=1/3$).

Теперь можно приступать к основному вопросу - найти требуемую в задаче вероятность $P(|Y-a|\le 0.3)$. Надеюсь, что после проведенной разъяснительной работы ТС легко ответит, каково распределение величины $Y-a$, стоящей под модулем. Затем ему надо понять, что за числа приведены в таблице, которую он демонстрировал (по моему опыту работы со студентами - это может быть самым трудным шагом в данной части решения), и как ею можно воспользоваться в данном случае.

[in_flames]

PAV в сообщении #525974 писал(а):

svv в сообщении #525964 писал(а):

Теперь мы можем ответить. Величина $Y$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ (как у одной бутылки) и дисперсией $1/9$ (или $\sigma=1/3$).

Теперь можно приступать к основному вопросу - найти требуемую в задаче вероятность $P(|Y-a|\le 0.3)$. Надеюсь, что после проведенной разъяснительной работы ТС легко ответит, каково распределение величины $Y-a$, стоящей под модулем. Затем ему надо понять, что за числа приведены в таблице, которую он демонстрировал (по моему опыту работы со студентами - это может быть самым трудным шагом в данной части решения), и как ею можно воспользоваться в данном случае.

1) По нормальному закону 2) Нужно найти в таблице наше ско=1/3 , это будет последний столбик и искомая вероятность =23,58?

[PAV]

1. У Вас все величины распределены по нормальному закону. Так что это не ответ. Вы должны всегда указывать параметры этого нормального закона.

2. На текущий момент у Вас имеется два параметра: это дисперсия с.в. $Y$, равная $\frac19$, и величина интервала $0.3$. Хотя они похожи ($\sqrt{\frac19}=\frac13\approx 0.3$), но это случайное совпадение, и вместо 0.3 может стоять 0.5 или любое другое число. Заглядывая в определенную строчку таблицы, Вы используете только один из этих двух параметров. Второй, что, получается не нужен?

Печально все это. Вы не думаете, а действуете совершенно наугад, пытаясь какими-то случайными действиями получить правильный ответ. Толку от этого - ноль. Так же и с Вашей таблицей. Мне это тоже все хорошо знакомо и узнаваемо: студенты часто держатся за таблицу, толком не понимая, что же в ней содержится, однако понимают, что в конечном счете нужно будет в нее заглянуть и что-то оттуда взять. И после каждого своего шага они с надеждой глядя на преподавателя пытаются-таки откуда-то что-то взять, думая что может быть вот наконец настал тот долгожданный момент, когда это уже будет ответ. Самостоятельного понимания ситуации при этом - никакого.

Вот Ваше сообщение с изображением таблицы: http://dxdy.ru/post525594.html#p525594

Посмотрим на обведенное красным цветом значение $76.42$, соответствующее какому-то параметру $0.3$. На всякий случай замечу, что хотя в таблице этот параметр назван сигмой, это совершенно не означает, что он соответствует сигме из Вашей задачи. Величины в таблице - это вероятности, выраженные в процентах, поэтому на самом деле там стоит число $0.7642$. Так вот, ответьте, что означает это число. Чтобы Ваш ответ не затянулся еще на несколько страниц, я приведу для него "рыбу". Он должен выглядеть так: "Пусть $Z$ - случайная величина, имеющая распределение ..., тогда вероятность $P(\cdots)=0.7642$".

Теперь перепишите эту фразу, подставив вместо многоточий правильный текст.