Невероятный предел.

[Nemiroff]

Цитата:

Я имел ввиду просто то, что ее можно пронести вот так, потому, что экспонента -- просто число...

У-у-у.
$0 = \sin 0 = \sin \cos \frac \pi 2 = \cos \sin \frac \pi 2 =\cos 1 \approx 0.54$
А чё? "c", "o" и "s" - это просто буковки, они ни от чего не зависят.

Вы одну функцию - степенно-показательную - меняете на другую - просто показательную. А так да, $e$ - просто число. Правда, $2e^2\neq e^{2\cdot2}$

Цитата:

Теперь правильно?

Ну вроде бы да.

[never-sleep]

(Оффтоп)

А почему четное число ошибок, что-то не могу найти вторую...

Цитата:

Вы одну функцию - степенно-показательную меняете на другую - просто показательную. А так да, е - просто число.

Ок, понял, ясно, спасибо!

[venco]

never-sleep в сообщении #524073 писал(а):

Теперь правильно?

Аргумент в $o()$ неправильный, я бы придрался.

Последнее равенство, как вы его записали:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(x)}=1$$

совсем не равенство.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

venco в сообщении #524079 писал(а):

Аргумент в $o()$ неправильный, я бы придрался.

Блин, точно.
Вот с помощью таких вещей злые преподаватели отбирают у добрых студентов последний хлеб. И масло.

[never-sleep]

venco в сообщении #524079 писал(а):

never-sleep в сообщении #524073 писал(а):

Теперь правильно?

Аргумент в $o()$ неправильный, я бы придрался.

Последнее равенство, как вы его записали:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(x)}=1$$

совсем не равенство.

Спасибо! Повис

Там вроде как гладко...

[venco]

never-sleep в сообщении #524083 писал(а):

Спасибо! То есть здесь ошибка?

$\ln(\ln(1+x))=\ln (x+o(x))=\ln x+ o(x)$

Там вроде как гладко...

Так можно записать, но нет смысла. Не забывайте, что $\ln x=o(x)$. Нужен меньший аргумент $o()$.

[never-sleep]

ой, там что-то стерлось...

$\ln(\ln(1+x))=\ln (x(1+o(1)))=\ln x+\ln(1+o(1))=\ln x+o(1)$

Похоже на правду...?

[venco]

venco в сообщении #524086 писал(а):

Не забывайте, что $\ln x=o(x)$. Нужен меньший аргумент $o()$.

Ай, блин. Я забыл, что мы к нулю стремим.

[never-sleep]

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(1)}$

А как дальше быть? Хочется воспользоваться правилом Лопиталя, но пугает $o(1)$ и $o(x)$

[venco]

never-sleep в сообщении #524087 писал(а):

ой, там что-то стерлось...

$\ln(\ln(1+x))=\ln (x(1+o(1)))=\ln x+\ln(1+o(1))=\ln x+o(1)$

Похоже на правду...?

Так нормально, но надо ещё сверху посмотреть...

-- Пт янв 06, 2012 17:53:16 --

never-sleep в сообщении #524089 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(1)}$

Вроде, если строго, то должно получиться:
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\ln x+o(x\ln x)}{x\ln x +o(x\ln x)}$

[never-sleep]

venco в сообщении #524090 писал(а):

Вроде, если строго, то должно получиться:
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\ln x+o(x\ln x)}{x\ln x +o(x\ln x)}$

Спасибо, понятно! А формально сократить -- нельзя?!

[venco]

На $x\ln x$ можно.

[never-sleep]

venco в сообщении #524112 писал(а):

На $x\ln x$ можно.

Все равно не очень понял

1) Откуда получилось $o(x\ln x)$ в знаменателе....

$e^{x\ln(\ln(1+x))}-1=x\ln(\ln(1+x))+o(x\ln(\ln(1+x)))$

Используем следующее:

$\ln(\ln(1+x))=\ln(x+o(x))=\ln (x\cdot (1+o(1)))=\ln x+\ln (1+o(1)))=\ln x + o(1)$

$o(x\ln(\ln(1+x)))=o(x(\ln x + o(1)))=o(x\ln x)$

Вот так? Просто я путаюсь c $o()$ ...

Тогда

$$e^{x\ln(\ln(1+x))}-1=x\ln(\ln(1+x))+o(x\ln(\ln(1+x)))=\ln x + o(1)+o(x\ln x)=\ln x +o(x\ln x)$$

2) Как на $x\ln x$ сократить?

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\ln x+o(x\ln x)}{x\ln x +o(x\ln x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\ln x(1+o(1))}{x\ln x(1 +o(1))}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+o(1)}{1+o(1)}$

Но ведь это какая-то ерунда получается, ведь $o(1)=C_0+C_1x+...+$

ТОгда ответ - какая-то константа..

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+o(1)}{1+o(1)}=\dfrac{C_0}{C_0'}=\operatorname{const}$

[never-sleep]

наверное, написал что-то ужасное, что товарищи-математики даже комментировать не хотят

[venco]

never-sleep в сообщении #524113 писал(а):

Но ведь это какая-то ерунда получается, ведь $o(1)=C_0+C_1x+...+$

Нет.
$\lim\limits_{x\to 0}o(1)=0$
и ничего больше.