Невероятный предел.

[never-sleep]

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}$

Выяснил, что у нас неопределенность $[0/0]$, а дальше с места не спернуть никак.

Есть только 2 предположения

1) Через правило Лопиталя (попробовал, не помогло)

2) Через возведения в степень $e^{\ln(..)}$ (попробовал, не помогло)

[Nemiroff]

Странно, а почему возведение в степень не помогло? Как делали?

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #523982 писал(а):

Странно, а почему возведение в степень не помогло? Как делали?

Вот так, а дальше как -- не знаю...

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\exp\Big(\lim\limits_{x\to 0}\ln\big(\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}\big)\Big)=\exp\Big(\lim\limits_{x\to 0}\big(\ln\big((x^x-(2x)^{x^2}\big)\big)-\ln\big((\ln(1+x))^x-1}\big)\Big)$$

[Nemiroff]

Ох, откуда вы это взяли?
Интересно, а если значение предела под экспонентой равно бесконечности, как вы это будете интерпретировать?

Предлагаю так: $x^x=e^{x\ln x}$

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #523991 писал(а):

Ох, откуда вы это взяли?
Интересно, а если значение предела под экспонентой равно бесконечности, как вы это будете интерпретировать?

Вот так!

$e^{+\infty}=+\infty$

$e^{-\infty}=0$

-- 06.01.2012, 23:10 --

Nemiroff в сообщении #523991 писал(а):

$x^x=e^{x\ln x}$

Сейчас попробую что-то написать, спасибо!

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(1+x)}-e^0}$

[Nemiroff]

Цитата:

Вот так!

$e^{+\infty}=+\infty$

$e^{-\infty}=0$

Не показывайте это никому.

Цитата:

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(1+x)}-e^0}$

Вы в знаменателе логарифм потеряли.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524026 писал(а):

Не показывайте это никому.

Такая запись -- некорректна?) А почему не показывать?)

-- 06.01.2012, 23:48 --

Nemiroff в сообщении #524026 писал(а):

Цитата:

Вы в знаменателе логарифм потеряли.

Разве?) Ведь $e^0=1$ или я где-то еще потерял?)

[Nemiroff]

Цитата:

Такая запись -- некорректна?) А почему не показывать?)

Такая запись бессмысленна. Либо нужно заранее оговаривать, что такое "число в степени бесконечность".
Кроме того, ваш переход от предела к экспоненте от предела логарифма вообще взялся ниоткуда и в таком виде некорректен.
Короче, так делать не надо.

Цитата:

Ведь $e^0=1$ или я где-то еще потерял?)

В первом слагаемом в знаменателе. А единицу можно оставить просто единицей.

Цитата:

Смысл ведь тот же $e^{+\infty}$ все равно же будет бесконечность, не очень понимаю...

$+\infty$ - символ хрупкий, с ним надо обращаться бережно и не вставлять куда попало.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524046 писал(а):

Такая запись бессмысленна. Либо нужно заранее оговаривать, что такое "число в степени бесконечность".
Кроме того, ваш переход от предела к экспоненте от предела логарифма вообще взялся ниоткуда и в таком виде некорректен.
Короче, так делать не надо.

Спасибо, буду знать) Только не очень понял, почему переход $\lim f(x)=\exp\Big(\lim \ln f(x)\Big)$ несправедлив...Есть ли ситуации -- когда он несправедлив?

Nemiroff в сообщении #524046 писал(а):

В первом слагаемом в знаменателе. А единицу можно оставить просто единицей.

Спасибо, нашел -- где пропустил! А как быть дальше?

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(\ln(1+x))}-1}$

-- 07.01.2012, 00:37 --

Drac Makac в сообщении #524047 писал(а):

почему, они ж равны

[Nemiroff]

Цитата:

Только не очень понял, почему переход $\lim f(x)=\exp\Big(\lim \ln f(x)\Big)$ несправедлив...Есть ли ситуации -- когда он несправедлив?

Лучше вы обоснуйте, почему он справедлив.
Когда правая и левая части равны, вам просто везет, скажем так.
Вот смотрите. $\lim f(x)=\lim\exp \ln f(x)$ По каким правилам или соображениям вы меняете знаки предела и экспоненты?

Цитата:

Спасибо, нашел -- где пропустил! А как быть дальше?

А дальше разложение всех экспонент в ряд до какого-то там члена.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524058 писал(а):

По каким правилам или соображениям вы меняете знаки предела и экспоненты?

Из того, что экспонента не зависит от $x$, поэтому можно "пронести" сквозь нее предел)

-- 07.01.2012, 00:55 --

Nemiroff в сообщении #524058 писал(а):

Цитата:

А дальше разложение всех экспонент в ряд до какого-то там члена.

Хватит ли до сюда? Если хватит -- то как это можно обосновать, ведь правило эквивалентностей можно пользоваться только тогда, когда заменяемая функция присутствует в качестве сомножителя...

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(\ln(1+x))}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x\ln x-1-x^2\ln(2x)}{1-x\ln(\ln(1+x))-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x-x\ln(2x)}{\ln(\ln(1+x))}$$

-- 07.01.2012, 00:59 --

Drac Makac в сообщении #524059 писал(а):

Цитата:

это верно

Ок, спасибо, уже радует, что чуть-чуть что-то осталось после НГ)

[Nemiroff]

Цитата:

Если хватит -- то как это можно обосновать, ведь правило эквивалентностей можно пользоваться только тогда, когда заменяемая функция присутствует в качестве сомножителя...

У второй функции в числителе хватит и просто единицы. В знаменателе разложите внутренний логарифм.
И еще: а о-малые где?

Цитата:

Из того, что экспонента не зависит от $x$, поэтому можно "пронести" сквозь нее предел)

$\lim f(x)=\lim e^{\ln f(x)}$
А от чего тут экспонента зависит?

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524068 писал(а):

У второй функции в числителе хватит и просто единицы. В знаменателе разложите внутренний логарифм.
И еще: а о-малые где?

Спасибо, если правильно понял -- то должно быть так...

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(\ln(1+x))}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x\ln x-1+o(x)}{1-x\ln(\ln(1+x))-1+o(x)}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x}{\ln(\ln(1+x))}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(x)}=1$$

[Nemiroff]

Вы нагло путаете плюс с минусом и не хотите раскладывать внутренний логарифм. Но ответ верный. Четное число ошибок, однако.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524068 писал(а):

$\lim f(x)=\lim e^{\ln f(x)}$
А от чего тут экспонента зависит?

Я имел ввиду просто то, что ее можно пронести вот так, потому, что экспонента -- просто число...

$\lim e^{\ln f(x)}= e^{\lim\ln f(x)}$

Как это строже объяснить -- не знаю, но было бы интересно услышать)

-- 07.01.2012, 01:21 --

Ну я разложил логарифм внутренний в уме)

$\ln(\ln(1+x))=\ln (x+o(x))=\ln x+ o(x)$

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^x-(2x)^{x^2}}{(\ln(1+x))^x-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x\ln x}-e^{x^2\ln(2x)}}{e^{x\ln(\ln(1+x))}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x\ln x-1+o(x)}{1+x\ln(\ln(1+x))-1+o(x)}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x}{\ln(\ln(1+x))}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x+o(x)}{\ln x +o(x)}=1$$

Теперь правильно?