Характеристические функции распределений

[Alex_CAPS]

Доброго времени суток!
Передо мной поставлена задача:
Установить, являются ли функции: а) $\cos(t^2)$; $\cos^2(t)$ характеристическими функциями каких-нибудь распределений.
Меня интересует каким образом, по каким критериям или по какому алгоритму можно определить сие.

[--mS--]

Для этого как минимум следует знать основные свойства характеристических функций и иметь в запасе набор характеристических функций основных распределений, а также знать, применение каких операций не выводит из класса характеристических функций. Тогда либо функция не является характеристической, и можно поймать её на невыполнении какого-то свойства. Либо она является таковой, и тогда чаще всего можно просто предъявить, для какой случайной величины (для какого распределения) эта функция будет характеристической. Вот, например, что Вы можете сказать за чистый косинус: $\cos t$ - чья это характеристическая функция?

[Alex_CAPS]

Цитата:

$\cos t$ - чья это характеристическая функция?

Учитывая то, что "характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины", т.е. $f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}g_X(t)dt$.
$f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\cos(t)dt$
Учитывая формулу Эйлера $\cos(t)=\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})$
Вольфрам мне в помощь....
$f_X(x)=\frac{1}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}(e^{it}+e^{-it})dt=-\frac{1}{4\pi}\frac{ie^{i(x-1)t}((x-1)e^{2it}+x+1)}{x^2-1}$
Если взять пределы интегрирования от $0$ до $\pi$ $f_X(x)=\frac{i(1+e^{i\pi x})x}{x^2-1}$
И как с этим жить?

[--mS--]

Вы начали не с того конца. Сначала следовало изучить свойства характеристических функций. Всё остальное - потом. Например, у распределения, чья х.ф. равна $\cos t$, нет и не может быть плотности, поскольку его х.ф. не является абсолютно интегируемой на прямой. Разглядите формулу Эйлера, может быть, она подскажет ответ.

[Alex_CAPS]

Допустим, свойства я изучил, хотя ничего внятного не обнаружил
НО! Я наткнулся на теорему Бохнера-Хинчина.
Теперь у меня вопрос другого рода. Как узнать, что функция эрмитово-положительная?

[vladiko]

Ну предположим что свойства вы не изучили, тогда бы не возникло вопросов.
Распределения бывают ещё и дискретные,и у них тоже есть характеристические функции.

[Alex_CAPS]

В другой теме форума обнаружил, что характеристическая ф-ия должна быть равномерно непрерывной и доказательство того, что косинус любой степени и от любой степени не является таковой.
Как я понимаю, этого достаточно, чтобы утверждать, что $\cos^2(t) $и $\cos(t^2)$ не являются характеристическими ф-иями каких-либо распределений.

[--mS--]

Alex_CAPS в сообщении #520844 писал(а):

Как я понимаю, этого достаточно, чтобы утверждать, что $\cos^2(t) $и $\cos(t^2)$ не являются характеристическими ф-иями каких-либо распределений.

А что, квадрат косинуса не является равномерно непрерывной функцией? Найдите уже, чья характеристическая функция $\cos t$! Ничего кроме определения и той формулы Эйлера, что Вы выписали, для этого не требуется.

А свойства следует изучать по учебникам или лекциям, а не по форуму.