легко сообразить, что
![$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c8b07a73d2fba150c2838aeb85cbcf82.png)
соответственно
![$((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$ $((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/f/45f1ca4b700d0d443e24c673a7ea496382.png)
последнее равенство -- в силу уравнения, откуда следует
![$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/6/8d61e1732f6cfd8b1314d3c8c758eb6f82.png)
и соответственно
![$\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$ $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/66534d1741610658088cdf104ce01a2682.png)
Мне тоже не совсем понятно, о чём идёт речь и я пробую разобраться, слегка изменив неудачные на мой взгляд обозначения. Рассматриваются две обобщённые функции (линейные функционалы) на пространстве основных функций
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
над
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
:
![$$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega + \omega_0)\psi(\omega)d\omega = \psi(-\omega_0),$$ $$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega + \omega_0)\psi(\omega)d\omega = \psi(-\omega_0),$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/7/d3794fae70cc45d8ad82d46de58061d982.png)
где
![$\psi \in K$ $\psi \in K$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/3/ab3b431bfa5aa6c38aa54313028cea9282.png)
.
Ядро линейного функционала представляет собою множество всех функций из
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
, которые обращают функционал в нуль, то есть:
![$$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(-\omega_0)=0; \psi \in K \}.$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(-\omega_0)=0; \psi \in K \}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae414396a7bba5b0f699a4cd1eb09a0d82.png)
Легко догадаться, что
![$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/4/1c47b7bc898df44e8f9edddf631f056082.png)
откуда легко сообразить, что
![$$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$ $$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/c/66c39190b2fb46e6a7b9c3cc2f7eb13282.png)
но
![$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/7/9e798c9d619973090f464a392d80944782.png)
Иными словами
![$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$ $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/7/9e736e1297341f4a2612a4ab35ef9a6082.png)
- это все основные функции, которые обращаются в нуль в точках
![$\pm \omega_0$ $\pm \omega_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/a/48a6190d4fd85c1224f8067b312078b482.png)
, некоторые из них имеют вид
![$(\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)$ $(\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdc809a94218b1373995735a7a39e87f82.png)
, но не все - например
![$(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/9/309df5155958589a3f8d2ffe0b4457b682.png)
(где
![$a>0$ $a>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/6/fb619bc416586dec067ec756bf572e6982.png)
) тоже входит в
![$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$ $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/7/9e736e1297341f4a2612a4ab35ef9a6082.png)
. Поэтому мне непонятно с какого потолка взялось вот это вот легкосоображение:
легко сообразить, что
![$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c8b07a73d2fba150c2838aeb85cbcf82.png)
Очень прошу тех, кому легко сообразить и догадаться пояснить подрбнее.
Идём дальше.
![$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/6/8d61e1732f6cfd8b1314d3c8c758eb6f82.png)
и соответственно
![$\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$ $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/66534d1741610658088cdf104ce01a2682.png)
Смысл этой записи в том, что непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что
![$\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$ $\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/8/e589343e0ab0b2ef00052c553b573eb182.png)
является решением (что я тоже сделал в
сообщении #518875). Однако, это ни коим образом не решает проблему, справедливо поставленную
Хорхе: записав решение уравнения в указанном виде мы должны ещё доказать, что уравнение не имеет других решений, точнее таких решений, которые не представляются в виде линейной комбинации только функций
![$\delta(\omega - \omega_0)$ $\delta(\omega - \omega_0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/8/0b8bb36adc367bc693d6bf9ff736a36882.png)
и
![$\delta(\omega+\omega_0)$ $\delta(\omega+\omega_0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813e5e85cbdd21983f5330e09226968982.png)
. Я думаю с этим доказательством не стоит себя напрасно утруждать. Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения, то есть решение представляет собою суперпозицию двух (по порядку уравнения) линейно-независимых функций. Впрочем, конкретно в нашей задаче, можно даже и не брать обратное преобразование Фурье, а учесть, что в виду его линейности и однозначности достаточно найти Фурье - образ решения в виде суперпозиции двух линейно-независимых функций.
Из литературы, на мой взгляд, на вполне человеческом языке написана книга Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965г. Там же посмотрите и список литературы.